sinθ+cosθ=3/2を解くと？

こういうツイートがあった。

【数学】 どうしてこのような矛盾が起こるのか。誤りを指摘せよ。 pic.twitter.com/0hzy5xa5l7

— shelfall (@shelfall) 2014, 9月 26

ああ、なるほど。sinθ+cosθ<=√2なのにそれを超えてることを利用した矛盾ですな。

実際には解が複素数になる、ということで解いてみると、

sin x = ( exp(ix) - exp(-i) )/2i,  cos x = ( exp(ix) + exp(-i) )/2として、z=exp(ix)とすると

(i+1) z^2 -3iz+(i-1)=0となって実際に解いていく。

最終的に

θ=-i*log ((1+i)/2)

となる。このとき

sinθ=3/4 + i/4, cosθ=3/4-i/4

なのでsinθcosθ=5/8となる。複素数の範囲でも。右側は複素数なら×の解。