ラマヌジャン関連の3つのクイズ（Quanta Magazineより）

Three Puzzles Inspired by Ramanujan

という記事がQuanta Magazineに出てました。これはなかなか面白い。

その１．

というのを (x+1)^2 = x^2+2x+1= 1+x(x+2)だけから示す。

x=2, 3, 4を入れると、

3^2=1+2*4, 4^2=1+3*5, 5^2=1+4*6なんで

3=√(1+2*4) = √(1+2*√(1+3*5)) = 1+2*√(1+3*√(1+4*6)))= …

なるほどー。

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その２．

φ=1+1/φだから

φ ^2 - φ -1=0

φ=(1＋√5)/2

まあ

これはおなじみ。

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その３．ある通りに50～500の間の家があり、1,2,3,4・・・と連番がついている。あるどこかの家の右側にある家の数の和と、左側にある数の和が等しいとする。そんな家の数はいくら？

1+2+...+k = k+(k+1)+ ... n

ということなので、

k(k+1)/2 = n(n+1)/2 - (k-1)k/2

で、k^2 = n(n+1)/2

つまりあるnまでの和が平方数になることがある？ということ。

これは連分数で解ける。（ペル方程式にも直せる）

http://www.mod2.org/str_sol.html

に答えがあります。

これを聞いたのはMahalanobis（統計学者）というのも面白い。