1+2+3+…=-1/12を、物理の古典極限と繰り込みで出す？

ラマヌジャン　ζの衝撃という本を本屋さんでパラパラ見ていておおっ！これは！と思ったところですが、、、

    　∞
S = Σn * exp(-n*h)
    　n=1

を考えて、最終的にh→0にする。なんとなくhをプランク定数ぽく思う。

S = exp(-h) + 2*exp(-2*h) + 3*exp(-3*h) + …

から、
exp(-h)*S =     exp(-2*h) + 2*exp(-3*h) + …

を引くと、
               　　　 ∞
(1-exp(-h))*S = Σ exp(-n*h) = exp(-h)/(1-exp(-h))
               　　　 n=1

になるので、

S = exp(-h)/(1-exp(-h))^2

となります。これを書き直すと、

S = 1 / (exp(h/2) - exp(-h/2))^2

　= 1/ ( 1+h/2+h^2/8 + h^3/48+ h^4/384＋h^5/3840… - 1 +h/2-h^2/8 + h^3/48- h^4/384＋h^5/3840+…)^2

  = 1/ (h + h^3/24 + h^5/1920+…)^2

   = 1/ (h^2 + h^4/12 + h^6/360+…）

　 =(1/h^2) / (1 + h^2/12 + h^4/360 + …)

   =(1/h^2) * (1 - h^2/ 12 + h^4/240+ …）

   つまり

S = 1/h^2 - 1/12 + h^2/240 　+ …

なので、、、

1+2+3+… = (h→0で∞になる項) -1/12 + (h→0で0になる項）

だ！

なので、古典極限＋繰り込みで∞になる項を処理したと考えると？

1+2+3+…=-1/12

か！