tan1°を真面目に計算してみる。そして複素数のありがたみがわかる。

tan1°が有理数か？という試験問題が京大で出たのは有名ですが、

たまたま昔書いた記事にアクセスがあったのを見た。これ。

sin(666°) = cos(6・6・6°) = -φ/2 (φは黄金比 (1+√5)/2))だって。

ここにはcos36°の計算ができることが書かれている。てことはこれに倍角と三倍角の公式を繰り返したらcos1°、そしてtan1°が計算できるのか！とやってみた。

※なんの意味もないですが、、、

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まずはcos36°から。

180°　-3*36° = 2 * 36°　が成り立つ。これのsinを取ると

sin(3*36°) = sin(2*36°)

ですが、3倍角と2倍角の公式から

3*sin(36°) - 4*sin^3(36°) = 2*sin(36°) *cos(36°)

なので、3-4*(1-cos^2(36°) = 2*cos(36°)

x=cos(36°) と置くと、、、

4*x^2-2*x-1=0

これは簡単に解けて、x = (2±√(2^2+4*4))/8 = (1±√5）/4

だが、cos36°はもちろん0と1の間にあるので、

答えは

cos36°= (1+√5)/4

ですが、黄金比 φ= (1+√5)/2を使うとこれは

cos36° = φ/2

ここまでは前回の話。

ここで半角公式を使う。（ここから√じゃなくてsqrtを使います）

cos18°=sqrt[(1+cos36°)/2]

なので、

cos18°= (1/2)*sqrt((1/2) *(5 + sqrt(5)))

もう一回使う。

cos9°=(1/2)* sqrt(2 + sqrt((1/2)* (5 + sqrt(5))))

さてここから3倍角公式を2回使うが、、、これがやっかい。

4*cos^3(θ)-3*cos(θ) = cos(3*θ)

なので、3次方程式を解く必要がある。

cos(θ)=x, cos(3*θ)=aと置くと、

カルダノの公式を使ってこの範囲のθになる答えを選ぶと、

cosθ = 1/2 ((sqrt(a^2 - 1) + a)^(1/3) + 1/(sqrt(a^2 - 1) + a)^(1/3))

なのですが、a<1なので、これ複素数が中に入る。

（これは還元不能の場合で、全部実数になるのに複素数が出てくる。

複素数のありがたみがよくわかるという、、、）

なので結局

cos3°= (1/2)* ((i*sqrt(1-a^2) + a)^(1/3) + 1/(i*sqrt(1-a^2) + a)^(1/3))

　　　　　ただしa=(1/2)* sqrt(2 + sqrt((1/2)* (5 + sqrt(5))))

これをちゃんと書くと(Wolfram Alphaに手伝ってもらって）

cos3°=1/(2 sqrt(2/(4 + sqrt(7 + sqrt(5) + sqrt(6 (5 + sqrt(5)))))))≈0.99863

となる。

さらにもう一回三倍角の公式を使うと、

cos1°=

1/2 (1/(1/(2 sqrt(2/(4 + sqrt(7 + sqrt(5) + sqrt(6 (5 + sqrt(5))))))) + i sqrt(1 + 1/8 (-4 - sqrt(7 + sqrt(5) + sqrt(6 (5 + sqrt(5)))))))^(1/3) + (1/(2 sqrt(2/(4 + sqrt(7 + sqrt(5) + sqrt(6 (5 + sqrt(5))))))) + i sqrt(1 + 1/8 (-4 - sqrt(7 + sqrt(5) + sqrt(6 (5 + sqrt(5)))))))^(1/3))≈0.999848

終わった、、、いやtan1°か、、、

もう力尽きた。

tan1°=√(1-cos^2 1°)/cos1°で、、、

Mathematicaで計算すると、

tan 1°は有理数か無理数かという入試問題があったが、実際の値を計算すると、、、

となるらしい。