35段14次のルンゲクッタ法をPARI/GPに実装、ローレンツ方程式を計算し、通常の4次、そして8次、オイラー法と比較してみる。(再掲)
ルンゲクッタ8次のDOP853で三体問題の周期解を1223個見つけた話をこの前見て検証してみたりしてましたが、
14次の公式があるのを知ってますか?
これだ!
http://sce.uhcl.edu/rungekutta/
35段14次!
これは倍精度くらいではそもそも使う意味がなさそうなので、任意精度の計算ができるPARI/GPに実装してみる。
まずはいつものようにローレンツ方程式をやってみよう。式はこちら。
dx/dt = -σ*(x-y)
dy/dt=-y-x*z+r*x
dz/dt=x*y-b*z
でプログラムのソースコードはこちら。60桁で計算してますよ。
使い方は、PARI/GPを立ち上げて、
\r Lorenz
でロード。
rk14("ファイル名")
で実行されて、ファイル名のところに保存される。散布図がどうも描きにくそうなので、ファイルに落としてExcelで描いてみた。それがこれ。
なるほど、計算できてそうだ。
で、このブログではルンゲクッタ8次のDormand & Princeルーチン(DOP853)をExcel VBAに移植したりまた普通のルンゲクッタ4段4次をカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpにUPしたり、結構いろいろやったので全部比較してみよう。
お題は、やはりローレンツ方程式でσ=10,r=26, b=8/3, 時間刻み幅0.01, そして初期値はx=y=z=0.1としてやってみる。
まずは4次、8次、14次の比較。
t=25くらいですでに4次がやばくなってきた。次行こう。
もうt=40過ぎると8次もやばい。
t=100くらいまでいくともうぐだぐだ。
ということで、常微分方程式なら全部4段4次のRunge kuttaでいいや、とか思っているといろいろと落とし穴がでたり。注意しよう。
え?オイラー法?t=1くらいでもう終わってるんだけど、、、
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