#仮面ライダービルド 第12話の話数を表す数式はゼータ関数ζ(s)=∑1/m^sでζ(-1)=-1/12、つまり1+2+3+…=-1/12という衝撃の式。
この式を初めて知ったときは衝撃を受けた。
こちらなど参照：
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リーマンブラザーズ破綻を聞いて、リーマン予想を思い出し、ゼータ関数の自明な零点って何故負の偶数かわからなくなった。
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面白い説明は以下に。
ラマヌジャン ζの衝撃という本を本屋さんでパラパラ見ていておおっ！これは！と思ったところですが、、、
∞
S = Σn * exp(-n*h)
n=1
S = Σn * exp(-n*h)
n=1
を考えて、最終的にh→0にする。なんとなくhをプランク定数ぽく思う。
S = exp(-h) + 2*exp(-2*h) + 3*exp(-3*h) + …
から、
exp(-h)*S = exp(-2*h) + 2*exp(-3*h) + …
exp(-h)*S = exp(-2*h) + 2*exp(-3*h) + …
を引くと、
∞
(1-exp(-h))*S = Σ exp(-n*h) = exp(-h)/(1-exp(-h))
n=1
∞
(1-exp(-h))*S = Σ exp(-n*h) = exp(-h)/(1-exp(-h))
n=1
になるので、
S = exp(-h)/(1-exp(-h))^2
となります。これを書き直すと、
S = 1 / (exp(h/2) - exp(-h/2))^2
= 1/ ( 1+h/2+h^2/8 + h^3/48+ h^4/384＋h^5/3840… - 1 +h/2-h^2/8 + h^3/48- h^4/384＋h^5/3840+…)^2
= 1/ (h + h^3/24 + h^5/1920+…)^2
= 1/ (h^2 + h^4/12 + h^6/360+…）
=(1/h^2) / (1 + h^2/12 + h^4/360 + …)
=(1/h^2) * (1 - h^2/ 12 + h^4/240+ …）
つまり
S = 1/h^2 - 1/12 + h^2/240 + …
なので、、、
1+2+3+… = (h→0で∞になる項) -1/12 + (h→0で0になる項）
だ！
なので、古典極限＋繰り込みで∞になる項を処理したと考えると？
1+2+3+…=-1/12
か！
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