ファインマンのライフガードのクイズを解く犬、というのを見て、「畑に水やり、どう進むと楽」問題をちゃんと計算してGIFアニメにしたことを思い出した。

数学を使うことなく直感的にファインマンのクイズを見事に解く動物たち

というのを見た。そこで思い出したのが以下の話題。再掲します。

--

この前、

畑に水やり、どう進むと楽？という算数の話、スウェーデン館の謎だ！

という話を書いた。子供たちに直角を教える方法だ。でも、これ本当にそうなんだろうかと気になってきた。バケツの重さに依存するだろう、、、ということでちゃんと計算してみる。

まずは問題設定は以下の絵に。

川まで空のバケツを持って行き、そこで水を入れて畑まで持っていく。

楽、ということはお疲れ度関数を定義して、それが最小になるようにしたらいいだろう。

お疲れ度は、最低次の近似でバケツの重さ×進んだ距離に比例するとしよう。

すると全部でお疲れ度関数は

p(x) = k*m1*R1 + k*m2*R2 = k*m1*√((x-L/2)^2+d^2)  + k*m2 *√((x+L/2)^2+d^2)

となる。（あるいはかかった時間を最小化することを考えて、速度∝1/(バケツの重さ）として見ても同様）

dp(x)/dx=0

として、これが最小になるxの値を求める。

m1/m2=εと置くと、

ε*(x-L/2)/√((x-L/2)^2+d^2)  +(x+L/2)/√((x+L/2)^2+d^2)  =0

となる。まずは特殊な場合を考えよう。すぐわかるのはε→0のとき、水が無限大に重かった（！)時は、x=-L/2となる。つまり直角が出てくる。

ε=1,つまり水を汲まなかったときも簡単で、x=0が出てくる。つまり二等辺三角形。

その間は、、、まずは摂動計算してみよう。ε<<1として、

x=-L/2+c*εと置く。これを代入してεの1次だけを残すと、

ε*(-L)/√(L^2+d^2) + c*ε/√(d^2)≒0

なので、cが計算できる。

結果はx ≒ -L/2 + (m1/m2) * L*d/√(L^2+d^2)

ということで水が有限の重さなら直角からちょっと内側になる。

摂動計算しなくても、一応4次関数なんで一般の場合も厳密にでるけど書くだけでめんどくさいので、いろんな数値を入れたときをGIFアニメにしてみよう。L=2,d=1,m1=1は固定して、m2を重くしていく。

こうなった。

もっともらしい感じじゃないでしょうか。バケツが軽かったら全体の最短距離を進むのに近い方が良くて、重かったら川から近い方がいい。