二重指数関数型積分公式（DE公式）は端点の特異点に強い、∫_0^1 dx/√(1-x^2)を計算すると？（カシオの高精度計算サイトで台形・シンプソン・ガウスクロンロッドなどと比較）

先日、∫ dx / log|log(x)|  (x=0 to 1)を二重指数関数型積分公式（DE公式）で計算してみた。

この積分∫ dx / log|log(x)|  (x=0 to 1)をPARI/GPのDE積分公式でx=1/eの周りで分けて1000桁で計算してみました。
-0.1544796413200427446901885347…
となりました。 https://t.co/bl47u14SvK

— tomo (@tonagai) 2018年4月24日

今回はそのDE公式を別の数値積分と比較して、端点が特異でも精度が高いことを見てみる。

どんな公式かはこちらを参照。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/papers/mori_ohp.pdf

前回はPARI/GPを使ったが、今回はもっとお手軽にカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpに入っている積分公式を使う。

https://keisan.casio.jp/menu/system/000000001360

・台形則

・シンプソン則

・ガウス・ルジャンドル数値積分

・ガウス・クロンロッド数値積分

・ロンバーグ積分

・二重積分関数型積分公式

などいろいろある。これで端点が特異な関数、

f(x)=2/√(1-x^2)

をx=0～1で積分してみよう。

もちろんarcsin(1)=πが答え。

まずはその二重指数関数型で50桁で計算。

答えは

3.1415926535897932384626433832795028841971693993752

でこの精度でπに一致。

台形則は、、、

∞

シンプソン則も、、、

∞

これは仕方ない、、、

ガウス・ルジャンドルで100分割したもの。

3.1293405111190220971077065222945990078536326922075

まあ、、、∞ではなくなった。

ガウス・クロンロッドは？(これはカシオの関数電卓に使われているアルゴリズム）

3.1318425436702189700732133188652432414311027484622

やはりDE公式はすごいな。