#仮面ライダービルド 最終話、第49話の話数の数式667^2=444889,6667^2=44448889,66667^2=4444488889など48が間に挟まれることの証明。

仮面ライダービルド、最終話の話数を表す数式は、67,667,など下表の第一列を二乗すると、第二列のように49の間に48、4488、・・・が挟まれるというものだった。

こちらのリンクも参照。

#仮面ライダービルド　最終話、第49話の話数を表す数式は6667^2=44448889からだんだん6がなくなっていって最後に7^2=49になる。48話から49話への移り変わりかな。

これはどうやって証明できるかというと、

まず一般に第一列は

6*(10^n+10^(n-1)+・・・1）+1

とかける。ところでかっこの中は初項1で比が10の等比級数。

なので、

6*(10^(n+1)-1)/(10-1)+1 = 2*(10^(n+1)-1)/3 +1=2*10^(n+1)/3+1/3

これを二乗する。

(2*10^(n+1)/3 +1/3）^2

= (4/9)*10^(2(n+1)) + (4/9)*(10^(n+1)) +1/9

ここで、(10^(2(n+1))-1)/9  = (1+10+・・・10^(2n+1)）

(10^((n+1))-1)/9  = (1+10+・・・10^n)

なので、

4*10^(2(n+1))/9= 4*(1+10+・・・10^(2n+1)）+4/9

4*10^((n+1))= 4*(1+10+・・・10^n）+4/9

となる。

なので、結局

(6*(10^n+10^(n-1)+・・・1）+1）^2

=4*(1+10+・・・10^(2n+1)）+4*(1+10+・・・10^n）+1

となる。

つまり、1から10^nまでの係数は8で、それ以上だと4。

ただし最後の桁は1足されるので9、ということになる。