御香宮でお参り2019．算額も観てきた。そしてその問題を解いてみる。

久しぶりに御香宮へ。

お参りした後は、、、

算額を見る。

以前も書きましたが、問題を再掲します。

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甲・乙・丙の3つの正方形（ただし甲＞乙＞丙）があって、

各面積の和がある値、

甲の1辺の3乗と乙の1辺の5乗と丙の1辺の7乗がある値をとり、

さらに甲の1辺から乙の1辺を引いた値と 乙の1辺から丙の1辺を引いた値は同じ。

では甲・乙・丙の1辺の長さは？ というもの。

http://www.s-coop.net/lifestage/backnumber/2011/pdf/1106_02-03.pdf

によると、乙の5乗根の70次方程式になるとか。

私も試してそうなることはわかった、、、がこんな計算するよりも今なら普通にニュートン・ラフソン法で解いた方が楽。やってみよう。

乙の1辺の長さをx, 甲と丙との差をyとすると（甲=x+y, 丙=x-y）、

まず面積の和がある値を取るというのは、

（x+y）^2 + x^2 + (x-y)^2 = a

と書ける。これは

3*x^2 + 2*y^2 =a

と簡単になる。

次の条件、甲の1辺の3乗と乙の1辺の5乗と丙の1辺の7乗がある値をとる、というのは

（x+y）^3 + x^5 + (x-y)^7 = b

となる。で、最初の条件とこれからyを消去すると、xの14次方程式になるが、消去するより2式のままで計算する。 つまり、、、

f(x) = 3*x^2 + 2*y^2 - a

g(x) = （x+y）^3 + x^5 + (x-y)^7 - b

として、 二次元のニュートン・ラフソン法を使う。

初期値はどうする？というと、yが小さいとして近似計算しよう。

x≒√（a/3）

y≒(b-x^3-x^5-x^7)/(3*x^2-7*x^6)

は容易に計算できる。

ではここまでまとめてカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpに自作式としてUPしてみた。こちらで計算できます。

御香宮（京都・伏見）の算額の問題