御香宮でお参り2019.算額も観てきた。そしてその問題を解いてみる。
久しぶりに御香宮へ。
各面積の和がある値、
甲の1辺の3乗と乙の1辺の5乗と丙の1辺の7乗がある値をとり、
さらに甲の1辺から乙の1辺を引いた値と 乙の1辺から丙の1辺を引いた値は同じ。
では甲・乙・丙の1辺の長さは?
というもの。
によると、乙の5乗根の70次方程式になるとか。
私も試してそうなることはわかった、、、がこんな計算するよりも今なら普通にニュートン・ラフソン法で解いた方が楽。やってみよう。
乙の1辺の長さをx, 甲と丙との差をyとすると(甲=x+y, 丙=x-y)、
まず面積の和がある値を取るというのは、
(x+y)^2 + x^2 + (x-y)^2 = a
と書ける。これは
3*x^2 + 2*y^2 =a
と簡単になる。
次の条件、甲の1辺の3乗と乙の1辺の5乗と丙の1辺の7乗がある値をとる、というのは
(x+y)^3 + x^5 + (x-y)^7 = b
となる。で、最初の条件とこれからyを消去すると、xの14次方程式になるが、消去するより2式のままで計算する。
つまり、、、
f(x) = 3*x^2 + 2*y^2 - a
g(x) = (x+y)^3 + x^5 + (x-y)^7 - b
として、
二次元のニュートン・ラフソン法を使う。
初期値はどうする?というと、yが小さいとして近似計算しよう。
x≒√(a/3)
y≒(b-x^3-x^5-x^7)/(3*x^2-7*x^6)
は容易に計算できる。
ではここまでまとめてカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpに自作式としてUPしてみた。こちらで計算できます。
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2番めの条件ですが,各辺のべき乗ではなく,べき乗根だと思います。
甲は開立方,乙は開四乗方,丙は開六乗方と書かれています。それぞれ,立方根,4乗根,6乗根です。
投稿: | 2023年7月 7日 (金) 16時26分