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2019年3月19日 (火)

1400年前に知られていたsin(x)≒16(π-x)x/(5π^2-4(π-x)x)の導き方。

昨日、これをリツイートした。

すると結構興味を持っておられる方が多いことが判明。 ではどうやって導出するか?を

に従ってやってみる。
まず半径R=1としておく。角度の単位は度で、Rも1なので円弧の単位も度。
Sin_app
直径ABを引いて、円上の任意の点をPとし、PからABにおろした垂線がABと交わる点をMとする。
三角形APBの面積Sを2通りのやりかたで計算する。
S=1/2 AB*PM
S=1/2 AP*PB
なので、1/PM=AB/(AP*PB)
となる。
円弧AP=xとすると、円弧BP=180-xとなり、
ここで円弧>弦なので、
1/PM>2/(x*(180-x))
が言える。
これを一次の近似式で置き換えられるとすると、
1/PM = 2*α/(x*(180-x)) + β
となる。
未知数は2つなので、x=30°と90°の2つあればα、βが求められる。
やってみると、
α=10125/2, β=-1/4
となり、これが最初の式を度単位でかいたものになる。
つまり

sin(x)≒4(180-x)x/(40500-(180-x)x)

正確な値と重ねると、、、
Sin_app2
もう重なるレベル。

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