1400年前に知られていたsin(x)≒16(π-x)x/(5π^2-4(π-x)x)の導き方。

昨日、これをリツイートした。

sin(x)≒16(π-x)x/(5π^2-4(π-x)x)という近似が1400年前に知られていたという。
どういう近似かはhttps://t.co/M7htYABff2
とか参照。 https://t.co/MTs384zekY

— tomo (@tonagai) 2019年3月17日

すると結構興味を持っておられる方が多いことが判明。 ではどうやって導出するか？を

https://en.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_I%27s_sine_approximation_formula

に従ってやってみる。

まず半径R=1としておく。角度の単位は度で、Rも1なので円弧の単位も度。

直径ABを引いて、円上の任意の点をPとし、PからABにおろした垂線がABと交わる点をMとする。

三角形APBの面積Sを2通りのやりかたで計算する。

S=1/2 AB*PM

S=1/2 AP*PB

なので、1/PM=AB/(AP*PB)

となる。

円弧AP=xとすると、円弧BP=180-xとなり、

ここで円弧＞弦なので、

1/PM>2/(x*(180-x)）

が言える。

これを一次の近似式で置き換えられるとすると、

1/PM = 2*α/(x*(180-x)) + β

となる。

未知数は2つなので、x=30°と90°の2つあればα、βが求められる。

やってみると、

α=10125/2, β=-1/4

となり、これが最初の式を度単位でかいたものになる。

つまり

sin(x)≒4(180-x)x/(40500-(180-x)x)

正確な値と重ねると、、、

もう重なるレベル。