玉を落として弾む回数とそれまでの時間で重力加速度gを計算する式(Fermat Libratyより）を実際に導出してみた。跳ね返り係数で表されるのか！

こういう話を見た。

Here's an easy way to measure the acceleration of gravity at home with a yardstick, a bouncy ball and a stopwatch.
h₀ - height of the drop
h₁ - height of the 1st bounce
Tₓ - time for x bounces
c=√(h₁/h₀) pic.twitter.com/EBiZJWYwrS

— Fermat's Library (@fermatslibrary) December 6, 2020

ほう、これは知らなかった。実際に計算してみよう。

まず計算するのはおなじみ重力がかかった状態の運動方程式

m*dv/dt=-m*g

から

dv/dt=-gで、

v(t)=v(0)-g*t

x(t)=x(0) - v(0)*t -g*t^2/2

＜０回目＞

手を放してh0から落とすと(v(0)=0)、t=√(2*h0/g)秒後に地面に落ちる。衝突寸前の速度は-g*t=-√(2*h0*g)

＜1回目>

跳ね返り係数をcとすると、衝突して打ちあがる速度はc*√(2*h0*g)。それが最高点まで行く時間は速度が0になる時間で

t=c*√(2*h0/g)、このときの高さがh1で、h1=c*√(2*h0*g)*c√(2*h0/g)　-g*(c*√(2*h0/g))^2/2

なのでh1=c^2*h0     つまり、最初の高さに跳ね返り係数の2乗かけた高さになる。ここから落ちると、同じ時間かけて落ちるので

T1=2*c*√(2*h0/g)=c*√(8*h0/g)　　（最初に落とした時はカウントしないようだ）

<2回目以降>

結局、最高点は最初の位置h0にc^2→c^4→c^6→をかけたものになり、衝突する時間は等比数列の和の式を使って、

Tx=c*√(8*h0/g)+c^2*√(8*h0/g)+c^3*√(8*h0/g)＋…=√(8*h0/g)(c+c^2+c^3+...)

Tx＝√(8*h0/g) (c*(1-c^x)/(1-c))となる。

ここからg=(8*h0*c^2)/Tx^2 * ((1-c^x)/(1-c))^2

が出せた！