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2021年1月 4日 (月)

全部が素数である等差数列の見つかっている最長の記録は27個でa(n)=224584605939537911 + 81292139·23#·nだそうなのでPARI/GPで見てみる。

素数の列が任意の長さの等差数列を含んでいるということが証明されているそうだ。

グリーン・タオの定理

では実際に数値的に確認されている記録は?というと最長で27個で、019年に見つかった。

Primes in Arithmetic Progression Records

数列はこんな形で、ここで23#は素数階乗(23までの素数の積)

224584605939537911 + 81292139·23#·n

疑い深いので、PARI/GPで確かめてみる。23#=223092870で最初に計算している。
結果はこれ。数字の後ろの1は素数(isprime(a)を使っている)。0は合成数。

n , 数列   , 素数なら1
0 , 224584605939537911 , 1
1 , 242720302537486841 , 1
2 , 260855999135435771 , 1
3 , 278991695733384701 , 1
4 , 297127392331333631 , 1
5 , 315263088929282561 , 1
6 , 333398785527231491 , 1
7 , 351534482125180421 , 1
8 , 369670178723129351 , 1
9 , 387805875321078281 , 1
10 , 405941571919027211 , 1
11 , 424077268516976141 , 1
12 , 442212965114925071 , 1
13 , 460348661712874001 , 1
14 , 478484358310822931 , 1
15 , 496620054908771861 , 1
16 , 514755751506720791 , 1
17 , 532891448104669721 , 1
18 , 551027144702618651 , 1
19 , 569162841300567581 , 1
20 , 587298537898516511 , 1
21 , 605434234496465441 , 1
22 , 623569931094414371 , 1
23 , 641705627692363301 , 1
24 , 659841324290312231 , 1
25 , 677977020888261161 , 1
26 , 696112717486210091 , 1
27 , 714248414084159021 , 0
28 , 732384110682107951 , 0
29 , 750519807280056881 , 0
30 , 768655503878005811 , 0

おお、本当だ。n=0~26までは素数で27から合成数になった。

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