愛の方程式、i^i^i^i^i^...(iのi乗のi乗のi乗の、、、つまり愛の愛情の愛情の愛情の、、、)の答えは? (バレンタインデー特集その1)
バレンタインデー特集その1ということで以前書いたものを再掲。
私が大学生のとき、友人とこんなクイズをやっていた。
”虚数の虚数乗(ii)は?”
これはexp(iθ)=cosθ+isinθだから、θ=π/2のとき、i = exp(iπ/2)となる。
なので、i^i = exp(-π/2)≒0.20787957635・・
となる(本当は多価ですが)。
ではさらに問題。
”虚数の虚数乗の虚数乗の、、、、を無限に繰り返したら?”
iiiiiii...
これは愛の方程式、i^i^i^i^i^...(iのi乗のi乗のi乗の、、、つまり愛の愛情の愛情の愛情の、、、)とも言える?
さて、これ計算するのに、カシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpにLambertのW関数の自作式をUPしている。
https://sci.tea-nifty.com/blog/2013/03/lambertwkeisanc.html
どういうことかというと、一般の複素数zで見ておく。
c=zzzzzzz
なので両辺の対数をとると、ln(c)=c*ln(z)(注)無限に繰り返してるから右辺がこうなる
c=exp(ln(c))なので、
ln(c) = exp(ln(c))*ln(z)
変形して
-ln(c) * exp [-ln(c)] = -ln(z)
左辺はまさしくW関数の定義(z = w*exp(w) → w=W(z))から計算できる。
W(-ln(z)) = -ln(c)
c = 1/exp (W(-ln(z))
ここで定義から、-ln(x) = W(-ln(z))*exp(W(-ln(z))
なのでちょっと書きなおすと
c= W(-ln(z)) / (-ln(z))
となる。
やっとこれでz=iのときの計算をやればいいとわかった。
でkeisan.casio.jpで計算する。
ln(i) = ln(exp(iπ/2) )=iπ/2なので、(これも多価だが、主値をとるとして、、、)
W(-iπ/2)を計算すると、
W(-iπ/2)=0.56641733-0.688453227i
が得られて、これを-iπ/2で割ると、
c=0.438282937 + 0.360592472i
となる。
桁数を増やすと、
iiiiiii...=0.43828293672703211162697516355126482426789735164639
+0.36059247187138548595294052690600065382657703078603i
となる。・・・が、前にもこれのごろ合わせを考えようとして挫折した、、、今回も挫折、、、
関連リンク:
√2の√2乗の√2乗の、、、、を無限に繰り返すと? (ちょっと追記)
a^(1/a)のa^(1/a)乗のa^(1/a)乗の、、、を無限に繰り返すと?
e^π/2のe^π/2乗のe^π/2乗の、、、を無限に繰り返すと?虚数!
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