円と接線を使った1枚の絵でsin/cos/tan/sec/csc/cotを表すもの、複素数を使って接線のパラメータ表示(z=exp(iθ)+i exp(iθ) t )で計算してみる。

昨日、円と接線を使った1枚の絵でsin/cos/tan/sec/csc/cotを表すのを見た。

All the basic trigonometric identities in one figure pic.twitter.com/5tFml7VFZY

— Fermat's Library (@fermatslibrary) April 3, 2021

Geogebraでも描いてみた。

もちろん普通に相似とか利用して計算すればいいですが、今回は複素数を使った計算をやってみよう。和、積の公式とか全部複素数にすると簡単に求まるのでその延長で。

まず円上の点は

z=exp(iθ)とかけて、

接線は、傾きはexp(i(θ+π/2))=i exp(iθ)になるので（大きさは1になっている）、

円上の点を通ってこの傾きの直線をパラメータ表示（tを使う）すると、

z=exp(iθ)+i exp(iθ) t = (cosθ - t sinθ) + i (sinθ + t cosθ)

となる。

y=0になる点はt=-sinθ/cosθ = - tanθ

なので、接点と、接線を伸ばしてx軸とぶつかる間の距離はtanθ。

原点から接線を伸ばしてx軸とぶつかる点の間の距離は

cosθ - (-tanθ)*sinθ = cosθ + (sinθ)^2/cosθ =((cosθ)^2+ (sinθ)^2)/cosθ = 1/cosθ = secθ

x=0になる点はt=cosθ/sinθ = cotθ

なので、接点と、接線を伸ばしてy軸とぶつかる間の距離はcotθ。

原点から接線を伸ばしてy軸とぶつかる点の間の距離は

sinθ + (cotθ)*cosθ = sinθ + (cosθ)^2/sinθ =((sinθ)^2+ (cosθ)^2)/sinθ = 1/sinθ = cscθ

とかなり簡単に求められる。