万有引力と重力、そしてそのエネルギーをちゃんと地球のスケールでグラフ化したらわかるのでは(ひろゆきが位置エネルギーが存在しないといったことに対して)
まず出てくる定数を整理しておきましょう。
万有引力定数 | G | 6.67E-11 | m³s⁻²kg⁻¹ |
地球質量 | M | 5.97E+24 | kg |
地球半径 | R | 6.36E+06 | m |
人間質量 | m | 5.00E+01 | kg |
となって、万有引力定数はめっちゃ小さいが、地球の質量はめっちゃでかいし、半径もでかい。
これがポイント。
質量1(m1)と質量2(m2)の間が距離|R1-R2|だけ離れているとき、重力の位置エネルギーは
U=-G*m1*m2/ |R1-R2|
となる。
地球表面からhの高さにあるときの位置エネルギーは
U=-G*M*m/(R+h)
になりますが、さっきのRがでかいことを利用してテイラー展開(h/Rの一次まで)する。
U=-G*M*m/(R+h)
≒-(G*M*m/R) * (1-h/R)
=-G*M*m/R + GMm*h/(R^2)
となる。最初の項は地球表面の値で、二番目がそこから高くなる時の値。
g=G*M/R^2
と書いて重力加速度(9.8くらいになる)を定義して、地球表面からの値を書くと
U=m*g*h
となり、中学校とかで習う形になる。
ようするにh/Rが小さいときだけに使える式で、高度が高くなると破綻する。
また力は位置エネルギーを距離で微分(してマイナス)したもの、つまり接線に相当するもので
万有引力
F=-G*M*m/(R+h)^2
その近似である重力
F=m*g で一定
となる。これももちろんh/Rが大きいと破綻する。
ではグラフにしてみよう。こちら。
成層圏くらいからずれていっているのが分かる。これを見たらひろゆきも分かるのでは。
あと宇宙速度なんかも参照:
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