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2021年4月30日 (金)

万有引力と重力、そしてそのエネルギーをちゃんと地球のスケールでグラフ化したらわかるのでは(ひろゆきが位置エネルギーが存在しないといったことに対して)

まず出てくる定数を整理しておきましょう。

万有引力定数 G 6.67E-11 m³s⁻²kg⁻¹
地球質量 M 5.97E+24 kg
地球半径 R 6.36E+06 m
人間質量 m 5.00E+01 kg

となって、万有引力定数はめっちゃ小さいが、地球の質量はめっちゃでかいし、半径もでかい。

これがポイント。

質量1(m1)と質量2(m2)の間が距離|R1-R2|だけ離れているとき、重力の位置エネルギーは

U=-G*m1*m2/ |R1-R2|

となる。

地球表面からhの高さにあるときの位置エネルギーは

U=-G*M*m/(R+h)

になりますが、さっきのRがでかいことを利用してテイラー展開(h/Rの一次まで)する。
U=-G*M*m/(R+h)
  ≒-(G*M*m/R) * (1-h/R)
  
=-G*M*m/R + GMm*h/(R^2)
となる。最初の項は地球表面の値で、二番目がそこから高くなる時の値。

 g=G*M/R^2

と書いて重力加速度(9.8くらいになる)を定義して、地球表面からの値を書くと

 U=m*g*h

となり、中学校とかで習う形になる。

ようするにh/Rが小さいときだけに使える式で、高度が高くなると破綻する。

また力は位置エネルギーを距離で微分(してマイナス)したもの、つまり接線に相当するもので

万有引力

 F=-G*M*m/(R+h)^2

その近似である重力

  F=m*g で一定

となる。これももちろんh/Rが大きいと破綻する。

ではグラフにしてみよう。こちら。

Photo_20210429215502

Photo_20210429215501

成層圏くらいからずれていっているのが分かる。これを見たらひろゆきも分かるのでは。

あと宇宙速度なんかも参照:

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%80%9F%E5%BA%A6#:~:text=4.4%20%E7%B2%BE%E5%BA%A6-,%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%80%9F%E5%BA%A6,km%2Fh)%20%E3%81%A7%E3%81%82%E3%82%8B%E3%80%82

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