2つのSパラメータのカスケード接続による合成をWolframAlphaに手伝ってもらって計算した。

ちょっと新人教育用の資料で必要になって手計算しようと思ったら、、、全く自信がない。のでWolframAlphaに手伝ってもらおう。

一つ目のSパラメータ（Sa）は入射波をa1, a2、反射波をb1, b2とすると(行列をテキストで書く、、、）

|b1|=|Sa11   Sa12| |a1|

|b2|  |Sa21   Sa22| |a2|

二つ目のSパラメータ（Sb）は入射波をa3, a4、反射波をb3, b4とすると

|b3|=|Sb11   Sb12| |a3|

|b4|  |Sb21   Sb22| |a4|

カスケード接続すると、a2=b3, b2=a3なので、、、とここからWolframAlphaの登場。

記号を認識してくれないので記号を簡略化する。a1=x1, Sa11=p1, Sb11=q1,… b4=y4

とかおく。

y1=p1 x1+p2 x2, y2=p3 x1+p4 x2,x2=q1 y2+q2 x4, y4=q3 y2+q4 x4

となるが、このままは計算してくれない。なのでまず後ろの２式からx2,y2を計算する。

solve x2=q1 y2+q2 x4, y4=q3 y2+q4 x4 for x2, y2

といれると、

x2 = (-q1 q4 x4 + q1 y4 + q2 q3 x4)/q3 , y2 = (y4 - q4 x4)/q3 , q3!=0 , q1!=0

と計算してくれる。これを最初の２式に（これは手というかコピペで）入れて、さらにWolframAlphaに

solve y1=p1*x1+p2*(-q1*q4*x4 + q1*y4 + q2*q3*x4)/q3, (y4 - q4*x4)/q3=p3*x1+p4*(-q1*q4*x4 + q1*y4 + q2*q3*x4)/q3

としてみると？

p4 q1!=1 , y1 = p1 x1 + (p2 (p3 q1 x1 + q2 x4))/(1 - p4 q1) , p2!=0 , y4 = (p3 q3 x1 + x4 (-p4 q1 q4 + p4 q2 q3 + q4))/(1 - p4 q1) , q3!=0

と答えが得られた。a1=x1, Sa11=p1, Sb11=q1,… b4=y4をメモ帳の置換で戻すと

b1 = Sa11 a1 + (Sa12 (Sa21 Sb11 a1 + Sb12 a4))/(1 - Sa22 Sb11)
b4 = (Sa21 Sb21 a1 + a4 (-Sa22 Sb11 Sb22 + Sa22 Sb12 Sb21 + Sb22))/(1 - Sa22 Sb11)

と得られる。

ここまでくれば後は手でまとめて、綺麗に書き直すと

とできた！もうちょっと頑張ればWolframAlphaで１行でできるかもしれない。

では次は（続く）。