Python+Sympy(数式処理）でZパラメータ（インピーダンス行列）からSパラメータに変換する。その１、成分で書く場合

Sympyの使い方を勉強中です。何かよく知っている事例で試せないかな？ということで、

Zパラメータ（Z行列、インピーダンス行列）をSパラメータ（S行列）に変換してみよう。とりあえず2ポートで。

Zパラメータはポート１，２の電流(I1, I2)と電圧(V1,V2)を使って

[V1] = [Z11   Z12] [I1]

[V2]    [Z21   Z22] [I2]

とかける。Sパラメータはポート1、２の入射波(a1,a2)と反射波(b1,b2)を使って

[b1] = [S11   S12] [a1]

[b2]    [S21   S22] [a2]

とかける。ここで

V1=√Zo (a1 + b1), V2 = √Zo (a2 + b2)

I1=(a1 - b1)/√Zo,  I2 =  (a2 - b2)/√Zo

の関係がある。ここまでの情報からSympyに取り込む。collectが大活躍で簡略化してくれる。

やってること：subsでi,vにa,bを入れる。

solveでbについて解く。collectを使って簡略化する（simplifyが全然だめだったので）

係数を求めるのにどうも有理数ではcoeffが効かない？っぽいので、subsで片側を0にして求める。

こんな感じ：

from sympy import *
init_printing()
#Sパラメータ, Zパラメータの変数定義
var('S11,S12,S21,S22')
var('Z11,Z12,Z21,Z22')
var('a1,a2,b1,b2')
var('i1,i2,v1,v2')
S = Matrix([[S11,S12],[S21,S22]])
Z = Matrix([[Z11,Z12],[Z21,Z22]])
a=Matrix([[a1],[a2]])
b=Matrix([[b1],[b2]])
i=Matrix([[i1],[i2]])
v=Matrix([[v1],[v2]])
#特性インピーダンスZo
Zo = Symbol('Zo')
#Zパラメータと電流・電圧の関係
expr = v - Z*i
#Zパラメータの電流、電圧を進行波a, 反射波bで書き直す
expr2 =expr.subs([(i1,(a1 - b1) / sqrt(Zo)), (i2,(a2 - b2) / sqrt(Zo)), (v1, (a1 + b1) * sqrt(Zo)),(v2,(a2 + b2) * sqrt(Zo))])
#反射波bに関して解く
Sconvert = solve(expr2, [b1,b2])
#係数ごとに簡略化する。
Sconvert1 = collect(Sconvert[b1],[a1,a2,Zo])
Sconvert2 = collect(Sconvert[b2],[a1,a2,Zo])
Sconvert11 = collect(Sconvert1.subs(a2,0)/a1,Zo)
Sconvert12 = collect(Sconvert1.subs(a1,0)/a2,Zo)
Sconvert21 = collect(Sconvert2.subs(a2,0)/a1,Zo)
Sconvert22 = collect(Sconvert2.subs(a1,0)/a2,Zo)
#最終的な結果
Sconvert=Matrix([[Sconvert11,Sconvert12],[Sconvert21,Sconvert22]])
display(Sconvert)

結果はこんな感じ。

最終結果を拡大すると、

と望む結果が得られた。

とはいえ、成分で書くのはイマイチ、、、行列のまま計算したい。ということで（続く）。