オイラーの素数生成多項式 n²-n+41はn=40まで全部素数、、、だが!PARI/GPでn=10⁶まで計算したら261081個(約26%)が素数。素数を出せ!と急に言われたら1/4超の確率でこれを使えば計算できるが、、、多いのか少ないのか
オイラーの素数生成多項式というのがある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
n²-n+41はn=1~40まで全部素数になる。大抵の人は素数にならなくなった時点で計算止めるが、これを見た。
Curious fact: If you calculate the polynomial f(n)=n²−n+41 for all n≤10⁶, about ~22% of the numbers are primes.
— Fermat's Library (@fermatslibrary) September 28, 2021
おお、なるほど先まで計算しても素数はあるのか(って当然ですね)。
PARI/GPは多倍長計算もできるし、isprime(n)でnが素数かどうか簡単に判別できる。計算して図示してみた。
横軸リニア
横軸対数:
点が重なってしまってよくわからんが、素数はかなり均等に出ていることがわかる。
個数は261081個でした。
では全部素数なのは諦めて、できるだけ素数の割合が多い多項式というのはあるのだろうか?(また調べてみます)。
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