オイラーの素数生成多項式 n²-n+41はn=40まで全部素数、、、だが！PARI/GPでn=10⁶まで計算したら261081個（約26%）が素数。素数を出せ！と急に言われたら1/4超の確率でこれを使えば計算できるが、、、多いのか少ないのか

オイラーの素数生成多項式というのがある。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0

n²-n+41はn=1~40まで全部素数になる。大抵の人は素数にならなくなった時点で計算止めるが、これを見た。

Curious fact: If you calculate the polynomial f(n)=n²−n+41 for all n≤10⁶, about ~22% of the numbers are primes.

— Fermat's Library (@fermatslibrary) September 28, 2021

おお、なるほど先まで計算しても素数はあるのか（って当然ですね）。

PARI/GPは多倍長計算もできるし、isprime(n)でnが素数かどうか簡単に判別できる。計算して図示してみた。

横軸リニア

横軸対数：

点が重なってしまってよくわからんが、素数はかなり均等に出ていることがわかる。

個数は261081個でした。
では全部素数なのは諦めて、できるだけ素数の割合が多い多項式というのはあるのだろうか？（また調べてみます）。