購入回数の確率を求めるNBDモデル（負の二項分布）の確率分布を与えるパラメータKの計算をカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpにUP!(林先生の森岡毅さんインタビュー見て数学マーケティングというのに興味持って確率思考の戦略論を買って読んだので）

さて、昨日はこの話を書いた。

購入回数の確率を求めるNBDモデル（負の二項分布）の計算をカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpにUP!(林先生の森岡毅さんインタビュー見て数学マーケティングというのに興味持って確率思考の戦略論を買って読んだので）

その中で”確率分布の形状を決めるパラメータ(浸透率とMから算出）K”をどうやって計算するか？について。

参考文献によると、浸透率PenとMから

Pen = 1 - (1+M/K)^(-K)

でKが算出できるとのこと。ただし、非線形の方程式なのでここはニュートン・ラフソン法で計算しよう。

1-Pen=qとして

f(K) = (1+M/K)^(-K) - q

として、

K(n+1) = K(n) - f(K(n)) / f'(K(n))

として反復計算すればいい。ただf'を求めるのがめんどくさい。今qは定数で微分すると消えるので置いておいて、

y=(1+a/x)^(-x)を微分することを考えよう。両辺のログをとると

log(y)=-x*log(1+a/x)

両辺微分すると、

y'/y = -log(1+a/x) - x /(1+a/x) * (-a/x^2) = -log(1+a/x) + a/(x+a)

なので

y' = ((1+a/x)^(-x))*( -log(1+a/x) + a/(x+a))

となる。計算に全く自信がないのでWolframAlphaでも確かめた。

初期値はどうする？ということについてはf(K)のグラフの形を見ると

単調減少してる。ということであんまり何も考えず０に近い数（0.01とか）を入れておけばよさそう。

この計算をカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpに自作式としてUPしてみた。

リンクはこちら：

負の二項分布モデル（NBDモデル）のパラメータKの算出

画面はこんな感じ：

参考文献：「確率思考の戦略論　USJでも実証された数学マーケティングの力」（森岡毅、今西聖貴）