愛の方程式、i^i^i^i^i^...(iのi乗のi乗のi乗の、、、つまり愛の愛情の愛情の愛情の、、、)の答えは？ 主枝＋分枝含むLambertのW関数で計算（バレンタインデー特集2022年版）

以前にこういう話を書いた。

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私が大学生のとき、友人とこんなクイズをやっていた。

”虚数の虚数乗(iⁱ)は？”

これはexp(iθ)=cosθ+isinθだから、θ=π/2のとき、i = exp(iπ/2）となる。

なので、i^i = exp(-π/2）≒0.20787957635・・

となる（本当は多価ですが）。

ではさらに問題。

”虚数の虚数乗の虚数乗の、、、、を無限に繰り返したら？”

i^iiiiii...

これは愛の方程式、i^i^i^i^i^...(iのi乗のi乗のi乗の、、、つまり愛の愛情の愛情の愛情の、、、)とも言える？

さて、これ計算するのに、カシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpにLambertのW関数の自作式をUPしている。

https://sci.tea-nifty.com/blog/2013/03/lambertwkeisanc.html

どういうことかというと、一般の複素数zで見ておく。

c=z^zzzzzz

なので両辺の対数をとると、ln(c)=c*ln(z)（注）無限に繰り返してるから右辺がこうなる

c=exp(ln(c))なので、

ln(c) = exp(ln(c))*ln(z)

変形して

-ln(c) * exp [-ln(c)] = -ln(z)

左辺はまさしくW関数の定義(z = w*exp(w) →　w=W(z)）から計算できる。

W(-ln(z)) = -ln(c)

c = 1/exp (W(-ln(z))

ここで定義から、-ln(x) = W(-ln(z))*exp(W(-ln(z))

なのでちょっと書きなおすと

c= W(-ln(z)) /  (-ln(z))

となる。

やっとこれでz=iのときの計算をやればいいとわかった。

でkeisan.casio.jpで計算する。

ln(i) = ln（exp(iπ/2) ）=iπ/2なので、（これも多価だが、主値をとるとして、、、）

W(-iπ/2)を計算すると、

W(-iπ/2)=0.56641733-0.688453227i

が得られて、これを-iπ/2で割ると、

c=0.438282937 + 0.360592472i

となる。

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さて、LambertのW関数は多値で、主枝と分枝がある。これを今年は複数プロットしてみよう。Wk(z)のk=-100~100まで計算してみた。

実部を横軸、虚部を縦軸としている。一番上にあるのがW0の主枝で上で書いたもの。

すごく尖った形になるんですな。新発見だ。

関連リンク：

√2の√2乗の√2乗の、、、、を無限に繰り返すと？　（ちょっと追記）

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128√e980は愛の言葉（GIFアニメにしてみた）＆Scratch（プログラム言語）でもやってみた。