NHK笑わない数学「カオス理論」、録画していたものを今見た。内容の紹介、参考リンクとピタゴラスの3体問題とローレンツ方程式を計算してGIFアニメにしたものをつけてます。

ロベルト・カルロスのすごいフリーキックからスタート。

大砲の飛ぶ距離は

x=v²/g sin 2θ

40度で時速100㎞なら77.5mと計算できる。

40.1度や速さが99.8㎞になったとしても0、数mの誤差に収まる。

最初の条件が少しずれてもほとんど変わらないので、最初の誤差は気にしなくていい。

数学が始まって以来、数学者の常識だった。

しかし時代とともに覆された。

1889年、ノルウェーのオスカル2世がこんな問題を出した。

太陽系のような星野集まりはずっと安定した存在なのかどうか数学的に示せ。

https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo28/28_horii.pdf

https://projecteuclid.org/journals/acta-mathematica/volume-11/issue-none/Prix-Oscar-II-M%C3%A9moires-pr%C3%A9sent%C3%A9s-au-concours/10.1007/BF02612333.full

星々の運動は万有引力を使って運動方程式でよくあらわされると信じられていた。

m_i d² r_i/ dt²= - Σ G m_i m_j (r_i-r_j)/|r_i-r_j|³

2つの星が最初にいて、くるくる後を追うように回っているとする。

スタート位置が少しずれたとしてもほとんど同じ動き。

ところが、フランスのアンリ・ポアンカレが驚きの事実を発見した。

それは星が増えると話が変わってくる。

例えば3つの星があるとき。同じくくるくる回っているとしても、1つをちょっとずらすと全然違う動きをする。

これとか参照：

Python+Scipyでルンゲクッタ8次のDOP853(Dormand Prince)を使う（その6）　ピタゴラスの三体問題を計算してFuncAminationでGIFアニメにしてみる。

クリックするとGIFアニメが始まります。

最初の誤差は気にしなくていいということが怪しくなり始めた。

その後、初期値敏感性と名付けられた。

次に出てくるのは二重振り子だ。

尾形さんが1回目と2回目で同じように揺らしたはずなのに全然違う動きになった。

当初は深刻な問題とは思われていなかった。

ところが20世紀半ば、事態は大きく動き出す。

1961年、エドワードローレンツが奇妙なことに気づいた。

風速や温度という初期値をいれて未来の気象を予測しようとしていたとき、同じ初期値なのに全く違う結果になった。

2度目のとき、コンピュータが自動的に数値を丸めてしまったのだ。

1度目は0.506127, 2度目は0.506

しかしその初期値のわずかなずれで結果に大きな違いが出た。

これとか参照：
Python＋Scipyでルンゲクッタ8次のDOP853(Dormand＆Prince)を使う（その12） 誤差設定を1e-12にしてローレンツ方程式でちょっとだけ初期値が違うものを並べてGIFアニメにする。

クリックするとGIFアニメが始まります。

のちにブラジルの長の羽ばたきはテキサスで竜巻を引き起こすか？という講演を行い、バタフライエフェクトと呼ばれるようになった。

京都賞受賞の記念公園の引用も。長期の気象予報は事実上、不可能だということになりますとも。

メリーランド大学。

ヨークとリーがPeriod Three Implies Chaosという論文を書いた（これ有名！）これをカオス（混沌）と表現したのだ。

https://www.its.caltech.edu/~matilde/LiYorke.pdf

例えばピザ。ピザの生地をたたんで折りたたんでたたんで折りたたんで、、、すべてカオス。

生地に含まれる一つ一つの粒子の位置がカオス。

パイこね変換ですね。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%A4%E3%81%93%E3%81%AD%E5%A4%89%E6%8F%9B

カオスは非常にありふれたものだということが分かった。

ヨークさんを訪問。今もカオスの研究を続けている！

ローレンツやヨークさんたちの論文が出るまで、数学者は初期値敏感性が重要と思ってなかったと語る。

尾形さんの背後に出てる数式は

ナビエ・ストークス方程式、ローレンツ方程式、ロジスティック写像、ダフィング方程式、エノン写像かな。

もうちょっとわかりやすい方法はない？

カオスをビジュアル化できないか？それをやったのはベノワ・マンデルブロ。

マンデルブロ集合！

これとか参照。

Python+numbaでマンデルブロ集合を描く（今更）、、、colormapsの色を確かめるために！

拡大していくととても複雑な境界線になる。そしてさらに拡大するとまたマンデルブロ集合のような形が。

自己相似だ。

ロマネスコという野菜も同じく自己相似。

フラクタルという。

自然の中にあふれている。シダの葉っぱも、肺も、銀河の構造も。

ではロベルトカルロスのシュートはカオスとどんな関係が？

ナビエ・ストークス方程式だ。水や空気など、流体の動きを表現する。ところが流体には大きな謎がある。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%83%93%E3%82%A8%E2%80%93%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#:~:text=%E3%83%8A%E3%83%93%E3%82%A8%E2%80%93%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%EF%BC%88%E3%83%8A%E3%83%93%E3%82%A8%E2%80%93,%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%A8%E3%82%82%E7%95%A5%E3%81%95%E3%82%8C%E3%82%8B%E3%80%82

それは整然とした流れ（層流）が不規則な流れ（乱流）にどう変わるのか？というもの。

境目がどこか？解明できていない。

マーカス・デュ・ソートイ博士はロベルトカルロスがナビエ・ストークス方程式を完全に理解していたのでは、と語る。

そして尾形さんはマンデルブロ集合が箱に描かれたロマネスコピザを食べ、

シュートを！

※私が初めてカオスとフラクタルを知ったのは、その名も「カオスとフラクタル」（当時はブルーバックス版）でした。山口 昌哉 さんの著

山口さんと言えばこれも。

高木関数が出るラプラス方程式をGIFアニメで。