離散リアプノフ方程式 AXAᴴ - X + Q = 0がクロネッカー積とvecで計算できることを思い出した！(Vec Trickというそう）。Pythonのscipy.linalg.solve_discrete_lyapunovとnumpy.kronの両方で計算してちゃんと合うことを確認。

離散リアプノフ方程式 AXAᴴ - X + Q = 0は、クロネッカー積とvecで

\[
vec(ABC)= vec(C^\top \otimes A) vec(B) 
\]

と書けることから

\[
  (I_{n^2} - \bar{A} \otimes A) vec(X) = vec(Q)
\]

を計算すればいいというのをmultiline TRLの理論を見ているときに思い出した。

これとか、

https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_equation

これを参照。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E7%A9%8D

Vec Trickというそうだ。

https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/7999226

確認してみよう。まずScipyを使った計算。

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.solve_discrete_lyapunov.html

例題の結果そのまま。

ではこれをクロネッカー積とvecで書き直す。

おお、ちゃんと（当たり前だが）同じ結果になった！