パンサー尾形さんのNHK 笑わない数学 コラッツ予想を録画したものを見て速記メモ。テレンス・タオさんの分かりやすいプレゼン資料見つけたが非線形シュレーディンガー方程式なのか！あとn=5977996304343501855なら2389ステップでようやく1になること図示したりした。

今日のテーマは、コラッツ予想。

これ、世界中の数学のファンをつかんで離さない数字遊びのようでもあるが、同時に世界の数学者にとっての未解決問題でもあり、1億2千万円の賞金がかかっている。

https://prtimes.jp/main/html/rd/p/000000015.000037669.html

問題そのものは小学生にも理解できる。

全ての数（自然数）は、偶数なら2で割る、奇数なら3倍して1足す

を繰り返すと必ず1になるはずだ、というもの。

結構ちょろそうだ？やってみよう。

1～10まででパンサー尾形さんが実際に確かめる。全て1になった。3以上の数は必ず4→2→1で終わる。

1～15まで、いろいろ確かめてもやっぱり1になる。

パンサー尾形さんは偶数は繰り返せば必ず奇数になる、だから奇数だけ調べたらいいんじゃ？これ大発見！と語る。

半分証明終わり？

いいところに気付いた。でも偶数はいらないのは言い過ぎ。

ある数までチェック済みとしよう。その一つ上が偶数だったら？

2kとあらわされる。2でわるのでkになる。もうチェック済みの範囲にはいっているので1になるのは確実。

次の数が2k+1だったとしよう。6k+4になるが、これは偶数。

次のステップで3k+2になる。しかし残念ながら偶数か奇数かわからない。ただしk+1より大きい。

なので1になるかわからない、ということになる。

偶数は調べなくていいか？

例えば1～15までチェック済みで16は？2で割ると8になる。

18は？9になるのでOK、20はOK、尾形さんの主張は正しい？

34が駄目。17はチェックしてない数になる。

さっきの尾形さんの計算で17は出てきてOKだった。

38は？19になってダメ。

42も、46も。偶数だからといって証明済みではない数が増えていく。小さい数から順番にチェックしないといけない？

奇数はさらに2つに分類出来て

・4で割って3余る奇数 4k+3 だけをチェックすればいいことは示せるが

・4で割って1余る奇数 4k+1 はすでに証明済みとは言えない

意外と難しい。

コンピュータでめちゃくちゃ大きな数までチェックされている。現在の最高記録はチェコのコンピュータ科学者が調べた

8垓5777京3599兆4274億9415万144

だそうだ。

そこまでやったらもう正しいというのでいい？

いやいやこの数より大きな数は∞個ある。なので解決に近づいてない。

ここでコラッツ予想がどのように生まれて知られるようになったか？

ドイツのある街に1人の少年が住んでいた。線路が好きだった。どこに繋がっているか気になっていた。

線路の絵ばかり描いていた。彼の名はローター・コラッツ（1910-1990）。

数学者を目指すことになったコラッツは、数字同士のつながりが気になった。

コラッツをよく知る数学者、インゴ・アルトヘーファー博士がコラッツが自分の予想について記したメモについて見せてくれる。

遊び心を持ったまま数学者になった。

自分の予想を公にすることはなかった。数字遊びのような問題だったので恥ずかしかった？

コラッツ予想を数学者が知ることになったのは1950年の国際数学者会議の何気ない雑談だった。

コラッツは休憩時間に予想についてポロリと話した。風変わりな予想。これが思わず解きたくなる一方で

どこから手を付けたらいいかわからない問題として広がった。

スタニスワフ・ウラム（ロスアラモスで核兵器の研究をしていた）は夢中になったがなんの結論も出なかった。

イェール大学の角谷静夫さんは、私の周囲の数学者がみな一か月かかりきりになったにもかかわらず何の成果も得られなかった、と書き残した。

アメリカではこんなジョークが生まれた。「コラッツ予想はアメリカの研究を遅らせるための陰謀なのではないか…」

やがて数学者は危険な難問として敬遠するようになった。

数々の数学者から敗北宣言が出た。

リチャード・ガイ：この問題を解こうとしてはだめだ。

ポール・エルデシュ：数学にはこの種の問題に挑むための準備がまだできていない。

ジェフリー・ラガリアス：この問題は異常なほど難しく現在の数学では歯が立たない

またパンサー尾形さんが登場。小学生でも理解できるのに、著名な数学者が敗北宣言を出すなんて。

でもただ怯え、逃げ回っていただけなのか？

いえ、実は、闘い続けた勇敢な数学者たちはいた。でもそれは妥協の連続だった。

リホ・テラスとコーネリアス・エベレット。

1970年代、独立に普通では考えられないようなアプローチを始めた。

全ての数について、というのをあきらめ、ほとんどすべての数は、

の証明をするという妥協の道を選んだ。

2人は確率論のテクニックを用いた。証明に近づけた？

さらにもう一つ妥協をする必要があった。

1になる、のところを自分自身より小さくなる、というものだ。

1に行くかどうか確かめていない、100垓くらいならいつかは自分自身より小さくなる。

ジェフリー・ラガリアス博士は、彼らの妥協は賢明な決断だった、大きな進歩につながったと語る。

彼らは出発点の数よりも小さくなるものはどのくらいあるかという問題に焼き直した。

確率論的な手法でコラッツ予想の証明へと前進したのです。と語った。

そのあとすぐ、フランスの数学者、ジャン・ポール・アリューシュはほとんどすべての数は自分自身の0.869乗よりも小さくなるということを証明した。

100垓くらいの数なら130京くらいにはなることを示した。

その15年後、スロバキアのイバン・コレックは自分自身の0.7925乗よりも小さくなる、ということを示した。

これは100垓くらいの数がいつかは27京くらいになるということ。

またパンサー尾形さん登場。

妥協をいとわないアプローチは肉を切らせて骨を断つ、ようでかっこいいなとは思うが証明にたどり着いていない。

もう数学者はコラッツ予想に近づくのをやめようと思った。

そんなとき、ものすごく近づいたという証明が現れた。

2019年のこと。

9歳でフリンダース大学で学び、17歳でプリンストン大学　大学院入学、31歳でフィールズ賞受賞し、

天才の名をほしいままにしてきたテレンス・タオさん。危険な難問には決して近づかなかった。

しかしコラッツ予想を考えるきっかけは偏微分方程式のアプローチが使えると直感したから。

その結論は

ほとんどすべての数は偶数なら2で割る、奇数なら3倍して1足すを繰り返すとある意味好きなだけ小さくなる、

というもの。論文はこれ。

https://arxiv.org/abs/1909.03562

解説プレゼン資料：非線形シュレーディンガー方程式からなのか！

https://terrytao.files.wordpress.com/2020/02/collatz.pdf

限りなく証明に肉薄した。

ジェフリー・ラガリアス博士はタオはテラスたちとは全く異なる手法を導入した。近い将来より大きな前進につながる可能性を秘めた価値ある手法だと語った。ブレークスルーというものは予期せぬ方向からやってくると。

でもテレンス・タオさんは、「私たちはコラッツ予想に好きなだけ肉薄できるようになりました。しかし実際のところは証明には全く手はどといていません」と言っている。一部の数を取り除いているため。

やはり全く新しい数学が必要ではないか、と考えられている。

パンサー尾形さんは超難問だからこそ、ひょんなことで解けるんじゃないかと思うと。

数学ファンの皆さんがんばってください。プロの数学者はあきらめているし…一億二千万円ですし…

じゃあお前が挑戦したらどうだって？危険なチャレンジを避ける堅実な人間なんです。危険なのはテレビの仕事だけで十分です。

チャレンジはしません。家族を養わないと。。。

次回は1+1=2

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これ、カシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpに作っているので遊んでみてください。

 コラッツ予想(Collatz conjecture)の図示

任意の正の整数 n をとり、 n が偶数の場合、n を 2 で割る n が奇数の場合、n に 3 をかけて 1 を足す という操作を繰り返すと1になる、というコラッツ予想を図示します。n=27なら111回繰り返しで1になります。 証明できたら1億円だそうです。

n=931386509544713451だと2283ステップで1に、n=5977996304343501855なら2389ステップでようやく1になります。

コラッツ予想(Collatz conjecture)の図示をカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpの自作式としてUP!　証明出来たら1億円だそうですが、過去の研究結果とかタオさんの結果とか知ってからやった方がいいと思います。