パンサー尾形さんのNHK笑わない数学 結び目理論、録画したのを見てメモ。アレクサンダー多項式（行列式をPython+Sympyで確認）、ジョーンズ多項式までは知っていたがHOMFLYPT多項式、コンツェビッチ不変量は初めて聞いた。エドワード・ウィッテンの論文も紹介された。

パンサー尾形さん登場。今日のテーマは、結び目理論。

え？結び目って靴紐とかリボンとかのこと？そんなの数学に関係ある？と思っているかもしれません。

いえ、結び目理論は数学のれっきとした1分野です。結び目は端っこがあるやつを想像している？

でも数学の結び目はちょっと違うんです。端っこのない、閉じた結び目です。絡まっていて解けないから結び目って感じするでしょ？

もう一つ。結び目を出してきた。

さてこの２つは同じ結び目か？（同じ形にできれば同じ結び目）

はさみで切ったりせず同じ形にできれば同じ結び目としましょう。

でちょっと１つを変形すると…同じだった。

数学における結び目理論とは「結び目が同じなのか違うのか。見た目だけから判定する」分野なんです。

まずは結び目理論が始まる前のお話。数学者たちが結び目にはどんな種類があるのか？その分類を始めたときのお話です。

1870年代、ある1人の物理学者の思いつきがあった。ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）だ。

原子の正体は何かの結び目のようなものではないか？という風変わりな説を出した。原子の違いは結び目の違いでは？

もしそうなら結び目を分類すればいいのでは？それに興味を持った数学者、ピーター・テイト。

結び目の分類のためにテイトが考えたのはこういう方法だ。

交点に注目し、交点の数を頼りにしらみつぶしに調べる。

まず交点が0個のものは、結び目無しの状態。

交点1個の結び目は何種類ある？

もし交点をアップでみると、それぞれの紐の端は可能性としてどこに繋がっている？

上の紐はあとの3か所に繋がるしかない。ということは、結び目無しか2個になる。つまり交点1個の結び目は0。

では次。交点2個の結び目は何種類？

交点のアップだけを見て、繋がり方をしらみつぶしに調べると…

105通りもあった。それを整理すると、、、また結び目なししか残らない。0種類だ。

（テイトは対称性なども使った）。

交点3個を調べると、1万395通り調べないといけない。それを整理すると、三つ葉結び目の左手型と右手型の2種類になる。

この2つ同じように見えるが鏡に映した関係で同じにならない。交点3個の結び目には2種類あることになる。

テイトはめちゃくちゃ地道な方法で、次に交点4個の場合の202万7025通りを調べた。

そして交点5個の6億5472万9075通りも調べ、交点6個の3162億3414万3225通りも調べ、交点7個、213兆4580億4667万6875通りまでしらみつぶしに調べ上げた。以下鏡像は除くとこうなった。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E7%82%B9%E6%95%B0_%28%E7%B5%90%E3%81%B3%E7%9B%AE%E7%90%86%E8%AB%96%29

そしてさらにテイトは、交点8個を調べ始めたが…途中で挫折した。テイトは「これ以上結び目を分類する時間を見つけられない。代わりに作業してくれる人物が大いに望まれる」という言葉を残した。

尾形さんがやってみる？

俺はやだよ！という…

その後、イギリスのトーマス・カークマンは交点10個までの結び目のリストを作った。

よくやったよなー。

でも根本的な問題があった。ある2つの結び目が違う結び目だと断言できるのか？紐の絡み具合が複雑すぎて当時は断言できなかった。

結び目が同じなのか違うのか数学的にきっちり判定することが大きな目標になった。

そもそもなぜ同じなのか違うのかを見極めるのが難しい。結び目の形が自在に変化することにある。

いくらでも複雑な形に変形できるので、見た目だけから判定するのは至難の業。

言ってみれは、結び目は変装がものすごく得意。

でももし、変装しても決して変化しない何かがあったらどうだろう？例えば指紋のようなものが。

結び目の指紋（不変量）とは？

進展があったのは1928年。アメリカの数学者、ジェームズ・アレクサンダー。

後に世捨て人のようになるほど結び目に没頭していたアレクサンダー。考え抜いた末に、ついに結び目の指紋ともいえるアレクサンダー多項式を発見する。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F

アレクサンダー多項式はざっくり言えば結び目を形作る紐の交点や、紐が囲む領域の位置を頼りに結び目を数式に置き換えたもの。

例え結び目が形を変えても数式は変わらない。

三つ葉の結び目で求め方を紹介する。

交点に番号1,2,3を付ける。

紐で隔てられた領域にも番号を付けるのだが、番号は交点と同じ番号まで付ければ十分。

表を用意する。列が領域で行が交点。紐に向きを付け、ルールとして

領域xは交点yを

・くぐる前の左 -t

・くぐる前の右  1

・くぐった後の左 t

・くぐった後の右 -1

・その他　0

としてすべてのマスを埋める。

	領域1	領域2	領域3
交点1	-t	-1	1
交点2	0	-t	1
交点3	-1	0	1

となる。でここからはちょっと難しいが、この表を行列とみて行列式を計算する。

（PythonのSympyでやってみよう。

確かにt^2-5+1になった！）

三つ葉結び目のアレクサンダー多項式だ。

本当に結び目の変装を見破れる？変装させてみる。5個交点があるようなものに変形して、、、行列式を計算すると？

（またSympyでやってみる

あれ？違う？と一瞬思うが、tのベキと符合について正規化すると同じになる）

変装前の式と一致した。このアレクサンダーの大発見は結び目を数学の1分野へと押し上げた。

パンサー尾形さん登場。

めんどくさい計算だな、でも結び目を数式に置き換える方法を見つけるなんてすごい、って感じがする。まさに結び目の指紋って感じがする。

ところがですよ、アレクサンダー多項式を使うとどんな結び目が同じなのか違うのかが判定できるかというと？

そんなに甘くはなかった。アレクサンダー多項式にはある弱点があった。

その弱点とは？

三つ葉結び目の右手型、左手型のアレクサンダー多項式がまったく一緒になってしまった。

鏡で映した関係の結び目を区別できないという大きな弱点があった。

もっと優れた指紋はないのか？数学者たちはそれを懸命に探したが半世紀以上過ぎた。

1984年、結び目理論とは全く関係のないところで見つかった。ニュージーランド出身のヴォーン・ジョーンズがちょっとだけ聞きかじったことのある結び目の数式が自分の専門分野で出てくることに気付いた。

そして誕生したのがジョーンズ多項式だった。計算方法はアレクサンダー多項式より複雑。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%BA%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F

Lを表すn次ブレイドbをTemperley-Lieb代数への表現rtで送りトレースを取ってから補正した値

ということらしい（わからん…）

とにかくすごかったのがアレクサンダー多項式で区別できなかった三つ葉結び目の左手と右手が

ジョーンズ多項式では区別できる。

この発見で1990年のフィールズ賞をジョーンズは受賞した。

ではジョーンズ多項式はすべての結び目を分類できたかというとまたまたそう甘くはなかった。

交点が9個までの結び目は完璧に区別できたが、10個まで考えるとうまくいかないことが分かった。

指紋探しはまだ終わらない。

パンサー尾形さん登場。

数学者が100年以上悩んでも区別できないとは奥が深い。でももう十分だと思いません？

だって交点が9個までなら分類できるんでしょう？はっきり言って生活に関係ないからどうでもいい気がするんだけどな。

でも数学者たちはどんどん夢中になっていった。何なんだろうな…

ジョーンズの発見によって数学者たちに火が付いた。ジョーンズ多項式の発見からわずか数か月後、アメリカとイギリスの大学に在学していた

ジム・ホスティ　ケン・ミレット　レイ・リッコリッシュ　エイドリアン・オクネアヌ　ピーター・フレイド　デビッド・イェッター

の6人はさらに強力な指紋を発見。

さらに時を同じくしてポーランドの2人

ヨゼフ・プジティッキとパヴェウ・トラチク

が同じ指紋を発見した。この8人の名前を取って、

HOMFLYPT多項式と呼ばれた。

https://www.mathsoc.jp/~topology/topsymp/2022/ts2022Takioka.pdf

しかしこれにも区別できない結び目があった。さらに探究が進んだ。

1993年ロシア出身のフランスの数学者、マキシム・コンツェビッチがコンツェビッチ不変量を発見。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%93%E3%83%83%E3%83%81%E4%B8%8D%E5%A4%89%E9%87%8F

これまで知られているありとあらゆる結び目を区別できるかもしれないと言われている。

もっともっといい指紋はないのか？数学者たちの探求はまだ続いている。

パンサー尾形さん登場。

すごいですよ！確かに凄いことだとは思います。でも結び目に取りつかれた数学者を見ていると

そもそもなんで結び目なんか研究しているんだっけ？

最初は原子からだが今では見当違いだったと分かっている。

数学者が勝手に作り出した単なるゲーム？

ですが！

遊びのように見える結び目理論について驚きの事実がわかってきたという。

宇宙を支配する自然法則を追い求める物理学で、不思議な事実がわかってきたのは20世紀末。

きっかけはフィールズ賞も受賞した理論物理学者、エドワード・ウィッテン博士の自然法則に関する論文、

量子場の理論とジョーンズ多項式(1989年）

https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-physics/volume-121/issue-3/Quantum-field-theory-and-the-Jones-polynomial/cmp/1104178138.full

結び目のような図と、ジョーンズ多項式の文字が。

これは何を意味している？

数学者たちが勝手に作り出したはずの結び目理論が、自然法則の中に宇宙誕生当初から組み込まれていた可能性を示している。

歴史に詳しいマリオ・リフィオ博士は「これはとても驚くべきことです。数学が持つ信じられないほどの力を示しているのです。数学者はもともと何かに役立つことを目指して数学を研究しているわけではないのに、実際には物理現象の解明に数学が大いに役立つのですから。結び目理論と宇宙法則との驚くべきつながりは数学は人間が自らの頭の中で作り出した発明なのか？それとも人間とは関係なく大昔から存在していたものを人間がたまたま発見したものなのか？という深淵なる問いを投げかけているのです。」と語る。

パンサー尾形さん：どうです皆さん。数学は発明なのか、発見なのか？というこの哲学的な疑問。

思いもよらないところにたどり着いた。非ユークリッド幾何学も、人間が勝手に空想したものに過ぎないとおもっていたら、実はこの世界が非ユークリッド幾何学だったということもある。

人類の発明だと思っていた数学は神様が大昔から使っていて人間がそれをようやく気付いたのかもしれない、そう考えると皆さんにもぞくぞくするような好奇心がわいてくるんじゃない？数学っていったいなんなんでしょう。では、また。

尾形さんにとっての数学は？僕の人生ですよ。僕も頑張らないとという。