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2023年11月

2023年11月30日 (木)

パンサー尾形さんのNHK笑わない数学 1+2+3+4+・・・=-1/12を録画したのをしてメモ。グランディ級数、チェザロ総和法、ラマヌジャン総和法(とハーディへの手紙)、カシミール効果とその実験的検証、超弦理論など盛りだくさんでした。最後の答えはもちろん...39。

パンサー尾形さん登場。

今日のテーマは、

1+2+3+4+・・・=-1/12

最初に言っておきますけど、この数式、インチキですからね!どんどん大きくなる数を足していって、マイナスになるわけないじゃないですか!

だから、これは間違い!

学校のテストでこんな答え書いたらバツですよ!

でもですよ、なんでこの数式が今日のテーマになっているかというと、これが必ずしも間違いとは言えない、いやある意味正しいという驚くべき話があるからなんです。

でもいきなりその話に入る前にこんな数式から始めましょう。ハマちゃん登場。

1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+・・・=?

地道に足していく尾形さん。早送りで1/32まで足した。一生かかっても無理だよ!

でも数学ではこんな感じの無限この数を足し算していくという問題がしょっちゅう出てくるんです。

例えば、

1+1/3+1/9+1/27+1/8+・・・=?

のような問題や、プラスとマイナスが入れ替わりながらどんどん大きくなっていく数を足し合わせる

1-2+4-8+16-32+64+・・・=?

のような問題や、自然数を全部出し合わせる

1+2+3+4+5+・・・=?

という問題まで。

こうした問題、まるで正体不明のモンスターのようで無茶だなと思いますよね?

でも数学者たちはこうしたモンスターをうまくねじ伏せる方法を確立しているんです。

さっきの尾形さんの問題をやってみましょう。

それはまず、いきなり無限個足すのではなく

その途中まで、例えば100番目までの和を考えることから始める。

1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+・・・=?

の100番目までの和は?

この式、2番目が2分の1で、3番目が1/2^2, 4番目が1/2^3

ということになるので100番目はどんな数かというと、1/2^(100-1)

になる。でもこの合計がいくつになるかはまだ見当つかない。その値を仮にS100と書いておこう。

S100=1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+・・・+1/2^(100-1)

でこの式を2倍した式を考える。

2×S100=2+1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+・・・+1/2^(100-2)

この2つの式をよく見比べると?

一致する数字がたくさんある。そこでこの両辺を引き算する。

S100=2-1/2^(100-1)

だけが残る。

S100は100番目までの和だった。じゃあ、無限番目までの和は

S∞=2-1/2^(∞-1)

になるが、2番目は分母がものすごく大きい数になり、限りなく0になる。ということは

S∞=2

になる。

正体不明かも、と思ったモンスターが意外とかわいく見えてこない?

パンサー尾形さん再登場。

なるほどー。何か面倒くさいけど頭いい方法だなって思いますよね?

ちなみに無限個の和を表すこの数式は数学では無限級数と呼ぶんです。

そしてこの無限級数、いろんな種類があるんですよ。ハマちゃん、カモン!

2つの無限級数の和を求めて欲しいという問題。まず最初に出てきた

1+2+3+4+5+6+・・・=?

これはもうどんどん大きくなる数を足していくわけでしょ?∞じゃない?

では

1-2+4-8+16-32+・・・=?

は?

地道に計算する尾形さん。32までで-21。グラフに描いてみる。答えなんてないんじゃないの?

尾形さんの答えはほぼ正しいんですが、さっきやった途中までの和を取る方法でやってみる。

最初のはn番目までの和は

1+2+3+4+5+6+・・・+n=n(n+1)/2

ということがわかっている。

ということは、無限番目だと∞に大きくなる。でも無限大は数とは認められてないので、答えなし、ということになる。

では

1-2+4-8+16-32+・・・=?

はどう?n番目までの和は

1-2+4-8+16-32+・・・+(-2)^(n-1) = 1/3 - (-2)^n / 3

となることが示せる。

1/3の部分はnが大きくなっても1/3のままだが2項めは一つの値に落ち着くことはない。なのでこれも答えなし、ということになる。

このように答えがない無限級数は数学の言葉で、発散する、と呼ばれている。

逆にさっきのような答えを持つようなものは収束する、と呼ばれている。

え?相変わらず言葉が難しい?まあモンスターのように見える無限級数には、ちゃんと答えがあるものとないものの2つがあることを覚えておいて。

パンサー尾形さん再登場。

無限級数には答えがあるものとないものがあることがわかってもらえた?

数学なのに答えがないのは残念だな、と思いました?いえいえ、発散する無限級数は和を考えることに意味はない、とされているんです。

でも、今、皆さんが感じた答えがないのは残念だな、という気持ち。

実は数学者の心の中にも満ち満ちていた時代があったんです。

18世紀初頭のイタリアにちょっと不思議な数式に夢中になっていた人がいました。修道士でもある、ルイージ・グイド・グランディ

(おお、ルイージって本当にある名前なのか。類似だと思っていた!)

グランディがひたすら眺め続けていたのは1の足し算と引き算が永遠に続く無限級数です。

1-1+1-1+・・・=?

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E7%B4%9A%E6%95%B0

現代数学ではこの式は1と0をいったりきたりするので答えはないとされるもの。

しかしグランディはこの無限級数の答えを何とか求めたかった。

たどりついた結論は、

1-1+1-1+・・・=1/2

というもの。1710年に発表した文の中でその理由をこうたとえ話で説明した。

ある兄弟が親から1つの宝石を相続することになった。遺言で売却を禁じられていたため2人は交互に宝石を保管することにした。

兄弟はそれぞれ半分の時間宝石を所有してるため、これが無限に続くと2人は1/2ずつ、宝石を所有していることになる。

答えがないはずの無限級数にもなんとか答えを与えたいという考え方は、ほかの数学者たちをも魅了していく。

その一人、クリスティアン・ヴォルフ。

ヴォルフは

1-2+4-8+16-32+・・・=?

にも答えが出るという議論を展開する。

さっき説明したようにn番目までの和は

1-2+4-8+16-32+・・・+(-2)^(n-1) = 1/3 - (-2)^n / 3

と書ける。これはつまりこの無限級数がnがどんどん大きくなっても変わらないコアの部分1/3と、発散してしまう部分とに分けるということができるということを示している。

発散する部分はプラスになったりマイナスになったり、平均がざっくりゼロと言えるから、

1-2+4-8+16-32+・・・=1/3

と言える、ということです。

そして18世紀半ばには、より洗練された議論を展開した数学者がいた。この番組の常連、レオンハルト・オイラーです。

オイラーが利用したのはこの公式

1+x+x²+x³+・・・=1/(1-x)

この公式は

-1<x<1の範囲でしか成り立たない。

例えばこの公式にx=1/2を代入すると、

1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+・・・=2

最初に尾形さんが挑戦した問題の答えになる。

ところがオイラーはこの公式をあえて範囲外に適用することで、答えがない無限級数についても”答え”が求められると主張した。

※オイラーの考え方は「解析接続」を先取りしたものと考えられる、という注あり。

例えば、公式にx=-1を無理やり代入すると

1-1+1-1+・・・=1/2

グランディの求めた数式が現れた。

さらに範囲外のx=-2を代入すると、ヴォルフの求めた

1-2+4-8+16-32+・・・=1/3

が現れた。

さらにオイラーは

1+2x+3x²+4x³+・・・=1/(1-x)²

という公式にx=-1を代入することで、

答えがないとされた無限級数は

1-2+3-4+・・・=1/4

となるといった。

ちなみにこのオイラーの公式が正しいとすることで、

1-2+3-4+・・・=1/4

番組の一番初めに出てきたこの式も

1+2+3+4+・・・=-1/12

また正しいとする議論もある。

まず

A=1+2+3+4+5+6+7+・・・

と置く。この4倍は

4A=4+8+12+16+・・・

となる。

両辺を引き算すると、

-3A=1-2+3-4+・・・

となるが、右辺はオイラーによると

1-2+3-4+・・・=1/4

なので

-3A=1/4

A=-1/12

1+2+3+4+・・・=-1/12

※実際には1+2+3+・・・は発散するので和の存在を前提とする議論は正確ではない、と注あり

パンサー尾形さん再登場。

いやいやいや、そんなわけないじゃないですか!

どんどん大きくなる数を足して行くんだからマイナスになるはずないじゃないですか!

今見た式は全部間違っているよ!

なぜって今見た18世紀の数学者たちのやり方を突き詰めていくと、

なんと-1は無限大より大きいというとんでもない議論まで出てくる。

ということで19世紀にはいると、数学者たちはさっき説明した通り、発散する無限級数は和を考えることに意味はない、

という厳格な考えを採用するようになった。

でもですよ、さっき皆さん思いましたよね?数学に答えがないのは残念だなと。

はい、19世紀以降の数学者の中にもしつこく和を求めようした人たちがまだまだいたんです。

1890年代のイタリアに発散する無限級数は和を考えることに意味はない、とする考え方に

いわば挑戦状をたたきつけた数学者がいた。エルネスト・チェザロ

チェザロは数学のテクニックを駆使して、答えはないとされた無限級数にも答えを求められる特殊な計算方法

チェザロ総和法を編み出した。

それを数式で表すと

∑an = lim (∑∑ai)/k  (最初の和はn=1~∞、極限はk→∞、2番目の和はj=1~k、3番目の和はi=1~j)

となる。

この数式にグランディが考えつけた無限級数を当てはめると

1-1+1-1+・・・=lim ∑(1-(-1)^j)/k = 1/2+lim((1-(-1)^k)/(4k) = 1/2

になる。

チェザロのこの方法は、足し算のやり方をうまい具合に調整することで18世紀のやり方を復活させようとするものだった。

さらにほかの答えがない無限級数にも答えを求めることができる別のテクニックが現れる。

それがアーベル総和法ボレル総和法と呼ばれる方法。いわば足し算のやり方をまた別のやり方で調整するこの方法を使うと、

1-2+3-4+・・・=1/4

1-2+4-8+16-32+・・・=1/3

が言えたり18世紀の数学者と同じ結果が得られた。

さらに

1+2+3+4+・・・

の和を計算できるという驚きの方法が世に出る。

その一つはインドの魔術師と呼ばれたシュリニバーサ・ラマヌジャンが考案したラマヌジャン総和法

これをつかうとなんと、

1+2+3+4+・・・=-1/12

が出てくる。

ラマヌジャンはイギリス人数学者、ハーディに宛てた手紙にこんなことを書き記した。

私の理論では

1+2+3+4+・・・=-1/12

になります。こんなことを私が言い出したら先生は私に病院に行けと言われるかもしれません。

(手紙に書いた結果はこれ)

Ramanujanletter_1_20231130213501

このラマヌジャンの絶対にありえないような結論、その真意はいったいどんなものなのか?

実は答えがないはずの式が、解析学のテクニックを駆使することで

1+2+3+4+・・・=-1/12+∫tdt

コアともいえる-1/12の部分と、発散する部分に分離できることが背景にある。

発散する部分はコアより重要度が低いため

1+2+3+4+・・・=-1/12

に等しいと言えるというのです。

ちなみにラマヌジャンと同じ結論には、実はほかの方法でもたどり着くことができる。

その一つ、ゼータ関数正規化法。

ざっくり説明すると素数の回で出てきたζ関数の式に、

1+1/2^s + 1/3^s+1/4^s+・・・=ζ(s)

無理やり範囲外の数s=1(成立する範囲はsの実部>1なのに)を入れると

1+2+3+4+・・・=ζ(-1)=-1/12

が求められるというもの。

尾形さん、あり得ないと思った式ですが、普通とは違う深い意味があったようですよ。

パンサー尾形さん再登場。

いや深い意味があったのかもしれませんが、それでもこの式はあり得ないんじゃないかな?

発散する無限級数にも答えを出したいという気持ちはわかるけれど、ちょっと理屈をこねすぎなんじゃないですかね?

だからこそ、さっきから何か怪しいという感じで””を付けて

”1+2+3+4+・・・”=-1/12

としてたんじゃないですか?この式はあくまで”普通とは違う意味”で正しいということ。

それにですよ、そもそもそんな怪しい和を求めると、何かいいことでもあるの?数学者の自己満足?

ところがですよ!

怪しい和にも意味があるんじゃないかというびっくりする事実がその後見つかったんです。

1948年、オランダの物理学者、ヘンドリック・カシミールが発表した論文が大きな議論を巻き起こした。

Casimirpaper

小さな隙間を隔てておかれた2枚の金属板の間にそれまで知られていなかった奇妙な引力が働くはずだ、のちにカシミール効果と呼ばれるようになった。

https://physicsworld.com/a/the-casimir-effect-a-force-from-nothing/

Casimir

その大きさは、1次元カシミール効果の場合は

”1+2+3+4+・・・”=-1/12

に比例する、ということだった。

実際の3次元では1³+2³+3³+4³+・・・=1/120に比例

この奇妙な引力は存在するのか?

1997年、その存在が実験によって証明され(スティーブ・ラモロー博士)

Casimirpaper2

ニュースが世界を駆け巡った。

私たちを取り巻く自然の法則にこの数式が利用されていることが浮かび上がった。

さらにこの数式を基礎とした、物理学の驚きの理論までが登場している。

超弦理論。(Green,Schwarz, Wittenのが紹介されていた)

Superstring_

これによると、もしこの数式を用いることができるのならこの世界が10次元で出来ている、ということが予言できるというのです。

無限に続くとらえどころのないとらえどころのない数式。

それはひょっとしたら私たちが全く想像できない世界への入り口になっているかもしれない。

パンサー尾形さん再登場。

今の不思議な話、どう感じましたが?奇妙な数式が自然に利用されることは最先端の物理学者でもふしぎだなーと感じるものがあるそうです。

そう、現代数学とその周辺には誰もがびっくり仰天する話がたくさんある。

数学ってやっぱり面白すぎる。

ところで今日出てきた無限級数をちゃんと復習したい人のために、

僕がとっておきの問題を作りましたよ。

今日出てきた式を一回ずつつかった、この式の答えは何だ?

[ (1+1/2+1/4+1/8+・・・)×("1-2+3-4+・・・")×{(1+1/3+1/9+・・・)+("1-1+1-:::")} - 1/"1-2+4-8+・・・

)"]/"1+2+3+4+・・・"

((2×(1/4))×(3/2+1/2)+12)×3=39

だ!

サンキュー!

どうハマちゃん。さすがでしょ!みんなテンション低いな。

来週はBSD予想。

2023年11月29日 (水)

やよい軒で辛旨チゲ鍋定食(から揚げ付き)をいただく。旨辛じゃなくて辛旨の名前通り、かなりいい感じの辛さで温まる。

この時期になると楽しみにしている辛旨チゲ鍋定食。めちゃくちゃ辛そうに見えますがそこまでではなく、いい感じの辛さです。

ご飯が進む。唐揚げも付けるとさらに進む。最後の汁まで全部いただいた。

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2023年11月28日 (火)

天下一品でこってりMAXをいただく。確かにこってり度がすごい!そしてラーメンどんぶりだけでなくてれんげにもこってりMAXの文字が。

久々に天下一品へ。こってりMAXをまだ食べたことがなかったので注文。

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確かにこってり度高い!でもくどいわけではなくて美味しく頂きました。

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そしてラーメンどんぶりとれんげにこってりMAXの文字が。

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2023年11月27日 (月)

やよい軒で肉増・すき焼き定食を、吉野家で牛すき鍋膳 肉二倍盛を、すき家で牛すき鍋定食 肉2倍盛をいただく。バランスがいいのは吉野家かな。きしめん入りだし。肉質はやよい軒がいいがちょっと味が濃い、すき家は野菜が多い+卵2個で甘め。

各社のすき焼きを食べてみた(すき家だけテイクアウトで写真撮り忘れた)

やよい軒。肉質は一番いい。ただ高いのとちょっと味が濃すぎた(たまたま?)。

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吉野家。肉が牛丼のものとちがって大きい!これもなかなかの肉質で、味はこれが一番よかった。

きしめんもいい。

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すき家は、卵が2個ついていて野菜多い。肉は2倍盛にするとめちゃくちゃ多いがただ牛丼と同じ肉かな…そして甘い。

総合すると今年は吉野家がよかった!

 

2023年11月26日 (日)

特別展 生誕270年 長沢芦雪 ー奇想の旅、天才絵師の全貌ー@大阪中之島美術館を観てきた。よかった!ものすごくかわいい仔犬たち(特に梅花双狗図)、迫力あるが猫のように愛嬌のある虎、人間のような猿たちなど面白い。しかも生まれが私と同郷!魚の印の話がとてもよかった!

テート美術館展 光 ― ターナー、印象派から現代へを観た後は一階降りて4階で長沢芦雪展を観てきた。

https://nakka-art.jp/exhibition-post/rosetsu-2023/

こちらは写真撮影NGでした。

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この生き生きとした猿とか、

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尋常じゃない可愛さの仔犬とかがずらり。

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迫力あるが猫のように愛嬌のある虎の裏側が…も面白いし、その前の龍の迫力もすごい。

で、魚の印の話が映像で流れていて(ネタバレ?にならないようにここでは書かない)これが非常によかった。

そのあとずっと観察してたが、ああ、なるほどー!と思った。

しかも私と生まれが一緒(ただしすぐに淀に養子に出された)。

こんなすごい絵師、私知らなかった…若くして謎の死をむかえたそうで、もっと長生きしてたら師匠の円山応挙のようにさらに有名になってただろうな。

2023年11月25日 (土)

テート美術館展 光 ― ターナー、印象派から現代へ@大阪中之島美術館を観てきた。確かに光が感じられる作品が多く、興味深かった。講義のために描かれたものや、動きのあるもの、照明を使ったものも面白い。写真撮影も一部を除いてOKでした。

今日は2つの展示を観に来た。まずは5階のテート美術館展 光 ― ターナー、印象派から現代へ。

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ターナーが学生に教えるために描いたものが面白い。

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ターナーの作品、光と色彩(ゲーテの理論)—大洪水の翌朝—創世記を書くモーセ 。これは興味深い。

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ジョン・マーティンのポンペイとヘルクラネウムの崩壊。これはすごい、ずっと観てた。

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その他にも興味深い作品がたくさん。

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こういう光の使い方はいいな。

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これも面白い。

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動きで黄色と紫が様々に変わる。

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点滅位置が変わる。

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これは相当綺麗な動き。

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なかなか良かった。さて次は(続く)。

2023年11月24日 (金)

スペクトログラム(PythonのSciPyで描く)をあるWAVファイルに施して、何の曲か絵を見ただけで当てる。

Python in Excelでスペクトログラムが描けるようになったのでその続き。

SciPyは音声のWAVファイルもそのまま読める。

そこであるファイルを持ってきてスペクトログラムを掛けてみよう。

まずは広帯域。

Spectrogram01

これじゃわからん。。。低い周波数だけを取り出し。

Spectrogram02

もうこれでわかる人もいるだろう。

答えは、学校のチャイムでした。

こちらの素材を使わせてもらいました。

https://g-miya.net/wordpress/se14/

使ったコード:

import numpy as np
from scipy import signal
from scipy.io import wavfile
import matplotlib.pyplot as plt

fs, x = wavfile.read("se_14_chime.wav")
f, t, Sxx = signal.spectrogram(x[:,0], fs, window=signal.windows.hamming(5000), nperseg=5000)
n = int(f.shape[0]/50)
plt.figure(figsize=(12,6))
plt.pcolormesh(t, f[:n], 10*np.log10(Sxx[:n,:]), vmin = -20, shading='gouraud', cmap='jet')
plt.ylabel('Frequency [Hz]')
plt.xlabel('Time [sec]')
plt.colorbar().set_label("[dB]")
plt.show()

2023年11月23日 (木)

パンサー尾形さんのNHK笑わない数学 フェルマーの最終定理の速記メモ。触れられてなかったがラマヌジャンがxⁿ +yⁿ =zⁿ±1を生み出す式を出していたこと、ソフィ・ジェルマンのコミック天球のハルモニア、そしてScratchでy²+y = x³-x²(mod p)を計算する式を作ったことを思い出す。

パンサー尾形さん登場。今日のテーマはフェルマーの最終定理。

17世紀フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが残した、数学史上最大のミステリーとも呼ばれる難問。

なぜミステリーと呼ばれたのか?実はフェルマーは「自ら証明した」と書き残しているんですが

どこを探してもその証明が見つからなかった。その後、数々の数学者がフェルマーの最終定理に挑んでは破れ、結局、

350年たってようやく証明にたどりついたという代物なんです。

でもこの難問、問題自身を理解するのは意外と簡単。まずはこれを見て。

x²+y²=z²

ここで皆さんに質問です。この式を満たす、x,y,zの組は存在するか(x,y,zは自然数)?

え?それなら中学で習ったって?

x=3,y=4,z=5ならばこの式は満たされますよね。ほかにもこの式を満たすx,y,zの組はたくさんあるんです。

じゃあここで二乗じゃなくて三乗だったらどうでしょう?

x³+y³=z³

この式を満たすx,y,zの組はあるでしょうか?

ちょっとやってみましょう。カモン!

尾形さんがいろいろな数を代入して試す。x=1,y=1はない。x=3,y=4もない。x=6,y=8もない?z³=728はできるんじゃないか?

z=9は729...

惜しい!

(あ!これラマヌジャンが見つけた式に出てくる!x³+y³=z³±1になる。)

https://plus.maths.org/content/ramanujan

Page_small

でもだめだ。

3乗だとないかもしれない…

はい、そろそろ皆さんも分かってきたんじゃないですか?フェルマーはこういったんです。

x +y =z

n=3以上の場合、この式を満たす自然数x,y,zは存在しない。

つまりnが3でも4で100でも1000でも絶対にない。フェルマーのこの主張、証明しろという問題が、

フェルマーの最終定理

なんです。

フランス・パリから500㎞ほど離れた港町、ボーモン・ド・ロマーニュ、1607年フェルマーはここで生まれた。

同じ時代を生きた科学者と言えば、ケプラー、ガリレオガリレイ、ニュートン。

ヨーロッパを中心に近代的な科学が発展した時代だった。

フェルマーは確率論や幾何学など、当時、最先端の研究を行い数学界をリードする存在だった。

そんなフェルマー、30歳のころ、こんなメモを手元にあった本の余白に書き込みます。

「2乗よりも大きいべきのかずを同じべきの2つの数の和で表すことは不可能である。」

これを現代風にいうと、

x +y =z

n=3以上の場合、この式を満たす自然数x,y,zは存在しない。

ところがフェルマーは続けてこんなことを書き足した。

私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。

フェルマーは証明を書き残さないままこの世を去った。

これはその後、350年にもわたって数学者を悩ませ続けることになるフェルマーの最終定理の誕生でした。

※n=4の場合だけフェルマーが証明と注がでた。

パンサー尾形さん再登場。

ちょっとフェルマーさん、そりゃないっすよ!余白が足りないなら別の紙に書けばいいじゃないですか!無責任ですよ!

まあとにかくフェルマーの最終定理が本当に正しいかどうか?

大きな謎が残された。

その謎を解こうとその後、たくさんの数学者が挑む。

まず成果を上げたのはこの番組の常連、レオンハルト・オイラーです。

天才オイラーならこの問題を解決できると期待してしまう。オイラーはやりました。

n=3のときだけだが…

でもこれは十分すごいことだった。とにかく、あのオイラーでもn=3しか解決できなかったということは

この問題が無茶苦茶難しい、ってことがわかってもらえるんじゃないでしょうか?

思い出してください。

フェルマーの最終定理を証明するためにはn=10, 10000,1億のときもあらゆるnのときに正しいと証明しなくてはなりません。

しらみつぶしに当たって行ったら、永遠に終わらない。

そんなとき、一つ一つではなく、ある程度まとめて解決しようとする数学者が登場した。ソフィ・ジェルマン。

当時非常に珍しい女性数学者でした。

(天球のハルモニアのモデルとしても有名ですね)

Img_2def807621097270460142a3641742017764

 

1776年、パリ。ジェルマンは裕福な家庭に生まれました。幼いころから大の数学好き。

しかし当時のフランスでは女性が数学を学ぶことは社会的に受け入れられていなかった。両親は反対したが押し切って独学で数学を勉強した。

ジェルマンが18歳のとき、理系のエリート校、理工科学校が設立された。

しかし入学を許されるのは男性だけ。そこで、ジェルマンはムッシュ ル・ブランを名乗って生徒として潜り込み、数学を学んだ。

ジェルマンの才能はあのガウスも認めるところとなる。

男性と偽りつつ、ガウスに手紙を送って意見交換を始めた。

そして1804年、ジェルマンはフェルマーの最終定理に迫る、一つの成果にたどり着く。ガウスへの手紙でジェルマンは

「有名なフェルマー方程式を証明することに成功したと考えています。私はこの論考を先生の判断にゆだねたいと思います。」

と書いた。

ジェルマンがとった戦略は斬新なものだった。

nに入る数字を一つ一つ確かめていくのではなくて、たくさんのnの場合を同時に証明する方法を思いついた。

そのたくさんのnとは、

素数で、2倍して1を足したものがまた素数になるもの。

例えば素数5なら11でこれは素数。

11も23で素数。

素数のうち2倍して1を足したものがまた素数になるものは、ある一定の条件のもとでフェルマーの定理が条件付きで成り立つことを証明した。

(※nがx,y.zの約数でないという条件)

しかし女性であることを理由に、論文として発表することは認められなかった。

ガウスにジェルマンは30歳のとき、女性であることを打ち明けた。手紙には女性数学者としての生きづらさが書かれていた。

私は女性だというだけで受ける差別を恐れ、名前を偽って先生に手紙を送っていました。

私が女性だと知った後も、どうか変わらぬ交流を続けていただければと願っています、と。

ガウスは返信した。

女性が数学の道を歩むことは男性よりはるかに障害が多いと想像します。

それを乗り越え、数学という難解な世界に足を踏み入れているあなたは

崇高な勇気と優れた才能を持っているに違いありません。

ガウスはジェルマンに自分が所属するゲッチンゲン大学の名誉学位を授けようとしたが、その直前55歳でジェルマンはこの世を去った。

パンサー尾形さん再登場。

女性だからというだけで正当に評価されなかったジェルマン。でもそんな逆境にもめげず偉業を成し遂げたジェルマンは

本当にかっこいいと思います。

ジェルマン以降もある程度の進展は見られた(エルンスト・クンマーが紹介されるが扱いが軽い…)

しかし20世紀に入ってもまだまだ無限に多くのnが残されたままほとんど進まなくなります。

あまりの難しさに多くの数学者はフェルマーの最終定理を完全に証明することは不可能だ、あきらめようと考えるようになった。

はい、これでフェルマーの最終定理の話はおしまいです。。。

普通ならそうです。

実はフェルマーの最終定理とは全然関係ないところで行われていた一つの研究がその後、誰も予想しなかった突破口を開くことになるんです。

その研究、取り組んでいたのは二人の若き日本人でした。

1950年代、戦後の焼け野原から数学を始めた志村五郎、谷山豊。

2人の研究テーマはものすごく変わっていた。

y²+y = x³-x²

こんな感じの方程式の問題と、

こんな感じの不思議な絵が、

Escher_circle_limit_iii

(エッシャーのこれです:

https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_Limit_III

繋がっているんじゃないかという研究です。

まずは

y²+y = x³-x²

から説明する。この式を満たすx,yの組は何個あるか?(x,yは0以上の整数)

ただし、この問題を解くためのルールは普通とは少し違います。

いわば、時計を使って解きなさい、ということ。

時計は0,1,2と進んでいくと、また0,1,2に戻る。

12時間の時計は数字は0から11までしかない。

この世界で足し算をしてみると、9時+4時は13時ですが、この世界では1時。

つまり

9+4=1

というわけ。

同じように3時間の時計があったら?この世界では数字は0,1,2しかない。

1+2=0になり、2+2+2=0になる。

先ほどの問題を3時間の時計と使って解くと?

  x=0 x=1 x=2
y=0 ×
y=1 × × ×
y=2 ×

 

 

 

この式を満たすx,yの組は4個ということになる。

そこでこんな表を作る。

時計の時間 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41
解の個数 4 4 4 9 10 9 19 19 24 29 24 34 49

この表の何が面白い?

(実はScratchでこれを計算するものを作っていた!

Scratch0001

Scratch(プログラム言語)でy^2+y=x^3-x^2の素数pを法とする解の個数を計算(NHK数学ミステリー白熱教室見て)

 

方程式の問題と不思議な絵がつながっているんじゃないか?という研究をしていたといった。

不思議な絵を描いたのはだまし絵で有名なオランダの画家、エッシャー。

色とりどりの魚がびっしりと敷き詰められていますが、円の外側に行くにつれて魚が小さくなり、どこまでも続いているように見える。

実はこうしたこの絵の特徴、

f=q∏(1-q )²(1-q¹¹)²  (n=1~∞)

この式とそっくりだという。実際、f(q²)の絶対値を描いてみるとよく似ている。

これがさっきの方程式の問題とどうつながっているのか?

 

f=q∏(1-q )²(1-q¹¹)²=q-2q²-q³+2q⁴+・・・・

となるが、志村と谷山はこんな表を作った。方の数字が2になっている部分を探し出し、-2q²なので前の数字は-2

これを引き算する。2-(-2)=4。これを素数で繰り返すとこうなる。

肩の数字 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41

肩の数字

-前の数字

4 4 4 9 10 9 19 19 24 29 24 34 49

さっきの時計を使って作った表と全く同じになった。

志村と谷山が気が付いたこと。それはざっくり言えば様々な方程式の問題とエッシャーの絵に関係する数式にひょっとしたら深いつながりがあるんじゃないか?

ということだった。

とにかく2人の日本人が、フェルマーの最終定理と全然関係ないところで

「志村-谷山予想」と呼ばれる問題を世に送り出した。

それはすべての楕円曲線はモジュラーである、というもの。

パンサー尾形さん再登場。

この話本当に不思議な話だ。この発見を何かに例えるなら、ピラミッドから発見された壁画が、なぜかシベリアの永久凍土の地下からも発見されたような驚き。

でもあまりにも不思議なので欧米の数学者たちは半信半疑だった。

そして残念ながら志村と谷山は証明することはできなかった。未解決のまま残されていた。

ところが1986年、また意外なことが発見された。

志村と谷山はフェルマーの最終定理とは全然関係ないところで研究していた。

ところがそれがフェルマーの最終定理と直に結びつくことが発見された。

証明されないまま残っていた志村・谷山予想。それがフェルマーの最終定理と直接結びつくことを見出したのは

アメリカのケン・リベット博士。ドイツのゲルハルト・フライ博士とともに見つけた。

この瞬間、志村谷山予想が正しいと証明できればフェルマーの最終定理が証明できることとなった。

ケン・リベット博士のインタビュー。

「それはとんでもないアイデアでした。数学者は誰もがインパクトのある成果を残したいと願って研究していますが、まさに私の死後も人々が忘れられないような発見をすることができたのです。」

そしてイギリス人数学者のアンドリュー・ワイルズ博士が「志村-谷山予想」の証明に乗り出します。

幼いころからフェルマーの最終定理を解くことを夢見ていた数学者です。

しかしどこから手を付ければいいかわからないほどの超難問だった。ワイルズ博士はその時のことをこう述べている。

「それは暗闇の中で手探りで部屋の様子を確かめるようなものだった。半年ほどたつと伝統のスイッチが見つかり明るくなるとようやく部屋の様子がわかります。そうなったらまた次の真っ暗な部屋に移ってさらに半年を手探りで過ごす、その繰り返しでした」

(サイモン・シンさんの本より)

そして1995年、ついにワイルズはテイラーとともに証明を完成させた。

フェルマーの最終定理の証明には「志村‐谷山予想」の一部を証明すれば十分でしたが、それでも論文は130ページに上った。

フェルマーの最終定理の誕生からおよそ350年、数学史上最大のミステリーは解決したのです。

パンサー尾形さん再登場。

こんなにも長い間多くの数学者を悩ませた難問は他にはなかなかない。

でも元はと言えばフェルマーが無責任が文章を残したからこんな面倒なことになった。

僕はそんな気がしてなりません。フェルマー自身は本当に証明方法を見つけていたのか?

今となっては誰にも分らない。

そうそう、僕もね、皆さんは絶対に笑わせられる一発ギャグを思いついたんですけど、それを披露する時間が足りない…

OKです。

2023年11月22日 (水)

Python in Excel(PY関数を使うとExcelのセル内にPythonがかける)を使う(その8) 短時間でFFTを繰り返して時間vs.周波数のデータを描くスペクトログラムをExcelでCSVファイルを読んでSciPyで計算。Matlabの例題を使った。音声でよくやられるが最近のスペアナはこの機能持ってるの多いな。

今回はスペクトログラム

例題はMatlabからとった。

https://jp.mathworks.com/help/signal/ref/spectrogram.html

こんな感じのプログラムで、

Spectrogramexcel01

結果はこちら:

Spectrogramexcel02

声紋などで使われるが、最近は高周波分野でもスペクトラムアナライザの機能としてあったりする。例えばこんなの。

https://www.anritsu.com/ja-jp/test-measurement/news/news-releases/2022/2022-12-09-jp01

 

これまでのもの:

Python in Excel(ExcelであるセルでPY関数を使うとPythonコードがかける)を使う(その1)scikit-learnを使ってアイリス(あやめ)の分類を様々な機械学習(k-最近傍法、ロジスティック回帰、ランダムフォレスト、SVM、ニューラルネットワーク)を試す。Python Editorも試す。

 Python in Excel(PY関数を使うとExcelでPythonコードがかける)を使う(その2)SciPyでローレンツ方程式をsolve_ivpのDOP853(Dormand&Prince 8次のルンゲクッタ法)で計算して、3Dプロットをする。Excel Labs(実験的なアドイン)のPython Editorも補完がきいて便利。

Python in Excel(PY関数を使うとExcelでPythonコードがかける)を使う(その3)20231017は素数なので、素数(素因数分解)カレンダーを、SymPyで素因数分解してデータ並び替え、Excelで積み上げ棒グラフにしてプロット。Pythonで積み上げ棒グラフは面倒なのでこれは楽。

Python in Excel(PY関数を使うとExcelでPythonコードがかける)を使う(その4) 何のライブラリが使えるかpkg_resourcesを使って調査。294個あった。numpy,scipy,scikit-learn,numba,mpmath,Pytourch,sympy,pandas,pillow,matplotlib,statsmodels,pywavelets,transformersなどは使える。

Python in Excel(PY関数を使うとExcelのセル内にPythonがかける)を使う(その5) Excelでcsvファイルを読み込み、Pythonのscikit-learnとNumpyで主成分分析(PCA),特異値分解(SVD)を行いExcelでグラフにする。

 立てこもりで有名になってしまった蕨市が、日本最小面積の市ということでデータを国土地理院のサイトからcsvでExcelに読み込み、Python in ExcelのPandasで解析&Seabornで図示。最大は高山市でした。ー Python in Excel(PY関数を使うとExcelのセル内にPythonがかける)を使う(その6)

Python in Excel(PY関数を使うとExcelのセル内にPythonがかける)を使う(その7) データをcsvでExcelで読んで重回帰分析をstatsmodelsのOLSで行う。が、summaryがExcelのセル内でうまく表示できなくてハマる…summary().as_text()として、セルの書式を折り返して全体を表示を選ぶ。

 

 

2023年11月21日 (火)

Visual Basic (VB.NET)でC#用の数値計算ライブラリMath.NET Numericsを使う(9)多変量解析(重回帰分析)を計算。しかしC#とVBの配列の宣言のサイズでハマってエラーが出まくった。C#でdouble a[5]なら0,1,2,3,4までの5個の配列だが、BasicでDim a(5) as Doubleなら0,1,2,3,4,5の6個!

今日は昨日のC#版をVB.NETに移植しただけ。C#版はこちら:

Visual C# (C_sharp)の数値計算ライブラリ MathNET Numericsを使う(11) 多変量解析(重回帰分析)は1行で計算できるし、Normal Equation,QR,SVDなど複数の方法が使える 

だが、、、

この話でずっと引っかかっていた!まあこれさえ解決すればあとは簡単。

 

Multireg_vbnet1

Multireg_vbnet2

 

過去のもの:

Visual Basic .NETでの過去事例はこちら。

Visual Basic (VB.NET)でC#用の数値計算ライブラリMath.NET Numericsを使う(1)複素行列を定義して一次方程式や逆行列、行列式などを計算する。

Visual Basic (VB.NET)でC#用の数値計算ライブラリMath.NET Numericsを使う(2) 補間を行う(Interpolate) リニア、3次スプライン、有理関数などいろいろ使える。

Visual Basic (VB.NET)でC#用の数値計算ライブラリMath.NET Numericsを使う(3) 高速フーリエ変換(FFT)を実行する。FourierOptionsにMatlabとNumerical Recipesがあるのが意外。

Visual Basic (VB.NET)でC#用の数値計算ライブラリMath.NET Numericsを使う(4) 多項式フィッティングをして、Array.ConvertAllで一括でフィッティングデータを得る。 

Visual Basic (VB.NET)でC#用の数値計算ライブラリMath.NET Numericsを使う(5)常微分方程式の数値解法、4段4次のルンゲクッタ法がRungeKutta.FourthOrderの一文でできる。ローレンツ方程式を例としてやってみる。

Visual Basic (VB.NET)でC#用の数値計算ライブラリMath.NET Numericsを使う(6)OptimizationのNelder-Mead SimplexでRosenbrock関数(5パラメータ)を最小になる点を探す。

Visual Basic (VB.NET)でC#用の数値計算ライブラリMath.NET Numericsを使う(7)OptimizationのLevenberg-Marquardt法(LevenbergMarquardtMinimizer)で非線形最小二乗法(回帰)でNISTの例題Rat43を計算する。

Visual Basic (VB.NET)でC#用の数値計算ライブラリMath.NET Numericsを使う(8)特異値分解(SVD)、主成分分析(PCA)を計算してみる

2023年11月20日 (月)

Visual C# (C_sharp)の数値計算ライブラリ MathNET Numericsを使う(11) 多変量解析(重回帰分析)は1行で計算できるし、Normal Equation,QR,SVDなど複数の方法が使える。 

久しぶりのC#のMath.NET numericsシリーズ。今回は重回帰分析。

https://numerics.mathdotnet.com/api/MathNet.Numerics.LinearRegression/MultipleRegression.htm

Direct Method, Normal Equation, QR, Svdといろんな方法で計算できる。とりあえずQRかな。

例題は

Python in Excel(PY関数を使うとExcelのセル内にPythonがかける)を使う(その7) データをcsvでExcelで読んで重回帰分析をstatsmodelsのOLSで行う。が、summaryがExcelのセル内でうまく表示できなくてハマる…summary().as_text()として、セルの書式を折り返して全体を表示を選ぶ。 

と同じものを使う。早速ですが、コードはこちら。計算は一行。あとはCSVファイルを読んだりするのに手間がかかる。

Multireg_c_sharp1

結果はこちら。Pythonで計算したものと一致している。

Multireg_c_sharp2

 

過去のもの:

Visual C# (C_sharp)の数学ライブラリ Math.NET Numericsを使う(1) 複素行列を定義して一次方程式や逆行列、行列式などを計算する。

Visual C# (C_sharp)の数学ライブラリ Math.NET Numericsを使う(2) 補間を行う(Interpolate) リニア、3次スプライン、有理関数などいろいろ使える。

Visual C# (C_sharp)の数学ライブラリ Math.NET Numericsを使う(3) 高速フーリエ変換(FFT)を実行する。FourierOptionsにMatlabとNumerical Recipesがあるのが意外。

Visual C# (C_sharp)の数学ライブラリ Math.NET Numericsを使う(4) 多項式フィッティングをして、Array.ConvertAllで一括でフィッティングデータを得る。

Visual C# (C_sharp)の数学ライブラリ Math.NET Numericsを使う(5) 常微分方程式の数値解法、4段4次のルンゲクッタ法がRungeKutta.FourthOrderの一文でできる。ローレンツ方程式を例としてやってみる

Visual C# (C_sharp)の数値計算ライブラリ MathNET Numericsを使う(6) OptimizationのNelder-Mead SimplexでRosenbrock関数(5パラメータ)を最小になる点を探す。

Visual C# (C_sharp)の数値計算ライブラリ MathNET Numericsを使う(7) OptimizationのLevenberg-Marquardt法(LevenbergMarquardtMinimizer)で非線形最小二乗法(回帰)でNISTの例題Rat43を計算する。

Visual C# (C_sharp)の数値計算ライブラリ MathNET Numericsを使う(8) 特異値分解(SVD)、主成分分析(PCA)を計算してみる(ちょうど奥村先生が記事を出されてたので)

Visual C# (C_sharp)の数値計算ライブラリ MathNET Numericsを使う(9) いろんな確率分布の乱数(メルセンヌツイスタがベース)をヒストグラムにして描く。とりあえず正規分布とガンマ分布で。

Visual C# (C_sharp)の数値計算ライブラリ MathNET Numericsを使う(10) 数値積分としてガウス・クロンロッド積分公式と二重指数関数型積分公式を試す。 

2023年11月19日 (日)

高周波(RF・マイクロ波・ミリ波・5G)関連ニュース2023年11月19日 IEEE Microwave MagazineでSDGs(高効率PAにAI、列車の速度計測),Microwave Journalでbeyond 6Gのテラビット通信、Akousticの18GHz BAW, Qualcomm Snapdragon 7 Gen3,量子センサと量子コンピュータ、など

IEEE Microwave Magazineで興味深かった記事はAnalog Devicesのこれ。


Towards Sustainable Networks: Attacking Energy Consumption in Wireless Infrastructure with Novel Technologies

PAの高効率化にもAIが使われるようになるのか、と。

Chuang213314319large

あとは列車の高精度速度計測についても。

High-Accuracy True Speed-Over-Ground Measurement Approaches for Rail Vehicles: Comparison of Highly Accurate State of the Art True Speed-Over-Ground Measurement Approaches for Rail Vehicles

Reissland173314320large

Microwave Journalでは5G/6G & IoT特集。

https://www.microwavejournal.com/publications/1

6Gを超えたテラビット通信。って5Gミリ波もまだ普及しないのに6Gの先っていつになるんだろう。

Next-Generation Terabit Wireless Communication: Advancements Beyond 6G

F3-1

5G特集の別冊も出てる。

https://www.microwavejournal.com/publications/1/editions/324

Keysightの6Gホワイトペーパー

eBook: Next Generation Wireless A Guide to the Fundamentals of 6G

Akoustisの18GHz BAW。

Akoustis Awarded Phase 2 For DARPA COFFEE Program

Xbaw

QualcommのSnapdragon 7 Gen3

Brand-New Snapdragon 7-Series Mobile Platform Provides Remarkable Performance and Power Efficiency with First-in-Tier Features

 IDTechExの解析:

Quantum Sensors vs. Quantum Computers: IDTechEx Takes a Look at the Next 10 Years

 

京セラAVXのハイパスフィルタ

High-Pass, Thin-Film Filters Serve Space-Constrained Apps



5G amaricasの新しいホワイトペーパー:

Commercial Applications Emerging for 5G Use Cases

Nokiaの発表

Technology Strategy 2030: Nokia’s guide to the emerging technologies that are radically changing our world

2023年11月18日 (土)

MUCA展 ICONS of Urban Art 〜バンクシーからカウズまで〜@京都市京セラ美術館を観てきた。バンクシー以外予備知識なかったがすごく興味深い展示だった。現代アート面白いな、と再認識。

京都市京セラ美術館でMUCA展をやっているということで観てきた。

MUCA展 ICONS of Urban Art 〜バンクシーからカウズまで〜

20231118-170728 20231118-165923

バンクシーはさすがにすごい。

20231118-163627

アリエルが大変なことに…

20231118-163847

でもバンクシー以外の作品も非常に興味深かった。というか面白い!

20231118-165107 20231118-165224 20231118-165340

展示の数自体は少なめですが、どれも面白いです。お勧め。

2023年11月17日 (金)

パンサー尾形さんのNHK笑わない数学 ケプラー予想を観てメモ。五角形の平面充填は15タイプとか、ランダムも含めた円充填の証明、コンピュータを使ったケプラー予想証明(MathematicaとJava!)、そして8次元と24次元を証明したマリナ・ヴィヤゾフスカさんのメッセージ。

パンサー尾形さん登場。今日のテーマはケプラー予想。

このケプラーという名前、天文学に興味がある人なら聞いたことがあるかもしれません。惑星の運動に関するケプラーの法則を発見した大天文学者です。そのケプラーの名前が付けられたこの予想、どんな難問?

ことの発端は17世紀初め、イギリスの軍人が知り合いの数学者に、船にできるだけ多くの砲弾を積み込みたいんだけどどう積んだらいいか?

とちょっと物騒な相談を持ち掛けたことでした。

どういうこと?やってみよう!

黄色と緑のピンポン玉が登場。別の箱にできるだけ詰め込もうと尾形さんが頑張る。

まず緑のピンポン玉を一列に、、二列目はその隙間に…(果てしないな)

1層目が敷き詰められた。二層目は黄色。3つの玉のくぼみに入れる。そして次は緑→黄色…

(これは収録に時間がかかってそう)

ケプラー予想とは、無限に広がる空間に球を詰め込むとき、1層目のくぼみに2層目の球を入れていくこの方法が密度が最もおおきくなるはずだ、というもの。

※稠密六方格子と面心立方格子の混合

そんなの当たり前?そのとおりなんですよ。これに決まってるんじゃないか!とわかりますよね。

でもこれが数学的にちゃんと証明されたのはわずか25年前。つまりなんと400年もかかってやっと証明された超難問だった。

数学者たちがケプラー予想をどう解決したかを見る前に、平面充填と呼ばれる問題を考えよう。

目の前に無限に広がる平面があると考えてください。同じ図形を並べていくとき、どんな図形だったらびっしりと隙間なく覆いつくすことができるか?

図形は回転させても裏返してもいいことにする。

まずは三角形。実はどんな三角形でも回転させてくっつけると平行四辺形になる。これを並べていくと長い帯になる。

これを上下に増やしていけば平面を隙間なく埋められる。三角形は平面充填可能である、という。

では四角形は?どんなものでも回転させてくっつけると平行なペアが3つある、平行六辺形と呼ばれる図形ができる。

これはどんなものでも平面を覆いつくすことができる。四角形も平面充填可能。

次は五角形ではなく、六角形にいってみよう。

一般の六角形は平面を覆いつくせない。平面充填可能な六角形は3つのタイプのみと知られている。

https://en.wikipedia.org/wiki/Hexagonal_tiling


Hexagonal_tiling

大抵の六角形はだめだけどこの条件を満たせば平面充填可能。

ちなみに、七角形以上は平面充填不可能であることが知られている。

残るは五角形だけ。実は五角形は大抵のものは平面充填不可能。可能なものを特定することは最近まで未解決だった。

古くから知られていたのは5つ。ドイツの数学者カール・オーガスト・ラインハルトが1918年に発表した。

その後、新しいタイプは全然見つからなかった。1968年、アメリカの数学者リチャード・ブランドン・カーシュナーが新たな三つを発見すると、平面充填可能な五角形探しは一気に注目を浴びた。

1975年にリチャード・ジェームズIIIがまた新たな1つを見つけ、さらに1976-77になんと数学者ではない普通の主婦、マジョリー・ライスが4つ見つけた。1985年にはドイツのロルフ・シュタインが14個めを見つけ、2015年にはスーパーコンピューターを使って、ケイシー・マン、ジェニファー・マクラウド・マン、デビット・ヴァン・デラウが15個目を見つけた。

https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_tiling

Pentagonal_tiling

そして2017年、平面充填可能な五角形は15タイプで打ち止めであるとマイケル・ラオに証明された。

Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane

Pentagonal_tiling2

パンサー尾形さん再登場。

2次元の平面にこんなに時間がかかったなんて。ここで思い出してください。ケプラー予想は3次元の空間に球を詰め込む問題でしたよね。

さらに難しくなりそうな気がします。なのでちょっとだけ簡単な問題をやってみよう。

今度はスタジオに円を敷き詰めるが、床に占める円の密度が最も大きくなる方法を見つけてください。

嫌がりながらもやってみる尾形さん。まず一列に円を並べ、二列目はくぼみに入れる。またこれも時間がかかって終了。

これにきまってるでしょ!誰だってわかるよ!

いえいえ尾形さん、この円充填と呼ばれる大昔から知られていた問題も、数学的にきっちり証明されたのは1940年代のことだった。

なぜなら無限に続く平面に円を並べるとき、尾形さんがやったように規則正しく並べる方法よりもランダムに並べる方が密度が大きくなるかもしれない。ランダムだと隙間が大きくなる?確かにそんな気もする。

こう考えよう。

ある一つの円の周りだけを考える。そこに7つの円が集まっている例が作れる。尾形さんの場合は6つ。密集しているのはどっち?

不思議な問題。

カール・フリードリヒ・ガウスも円充填の問題を詳しく議論している。ガウスは規則的な並べ方に限定して研究した。

※ガウスはラグランジュの研究と合わせて事実上規則的配置の場合を証明したとされる

さっきの尾形さんの並べ方のときに密度が最大になることを示した。その円の密度(平面に占める円の割合)≒90.69%だった。

しかしガウスはランダムな並べ方をしてもこれが最も最大なのかについては研究を残さなかった。

円充填の問題を解決したのは、ハンガリー出身のラスロ・フェイエシュ=トートだった。

幾何学の論文を180本以上発表するなど充填問題の権威として知られている。

1940年、「ある幾何学の定理について」

https://link.springer.com/article/10.1007/BF01181430

という論文で、ランダムな並べ方を含む円充填問題の証明。いきなり無限の広がりを考えるのではなく、まずは有限の広さの領域に円を並べることからスタートするものだった。

面積Tのものすごく大きな広がりに円をランダムに並べていくと考えてください。

円の半径はr、個数はn個としましょう。円1個の面積はなのでn個の円の面積はnπr²になる。
ということは円の密度はnπr²/Tになる。

この密度が大きくなるのはどんなとき?フェイエシュ=トートは円と円の真ん中に線を引いてn個の多角形を作っていくことを考えた。
多角形の形はいろんなものがあるが、どの多角形の面積も正六角形の面積より辛なず大きくなることを突き止めた。

正六角形の面積は計算すると2√3r²になる。

2√3r²×n ≦ n個の多角形の面積の合計

になる。これを変形すると、

nr²≦n個の多角形の面積の合計/2√3

でさっきの円の密度=nπr²/T

に入れると、

円の密度≦π/2√3 × n個の多角形の面積の合計/Tになるが、n個の多角形の面積の合計は領域が無限に大きくなると面積Tに一致するので、

円の密度≦π/2√3≒90.69%ということがわかった。

これはガウスが考えた最大の規則的な時の密度と全く同じ。

つまりランダムな並べ方を含めてもこれが最大であると証明された。

パンサー尾形さん再登場。

よかったよかった?じゃないでしょ!大変な計算をして導いたのは僕が一瞬で見つけたのと同じ結論だったじゃないですか!

もういい加減ケプラー予想に行きましょう。

無限に広がる空間に球を詰め込むとき、1層目のくぼみに2層目の球をいれていくっていう方法が密度が最も大きくなるはずだ、って話。

これが正しいってことになるんでしょ?

16世紀、ドイツの小さな町で生まれたヨハネス・ケプラー。聖職者を志したこともあるケプラーは

「神は完全なる世界を創造されたので宇宙は幾何学的原理に支配されているはずだ」という強い信念を抱いていた。

ケプラーが40歳のころ友人に自分の本を送ります。その本に記されていたのがまさに尾形さんのやり方.

https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_conjecture

Kepler_conjecture_2

しかしこの予想が正しいという証明をケプラーは残さなかった。この球充填問題に一つの結論を導き出したのは再びあのガウスだった。

ガウスは規則正しい並べ方に限定して調べ、尾形さんのやり方が最大になることを示した。

その密度は74.05%。しかしガウスは円充填と同じく、ランダムな並べ方を含めては調べなかった。その後何の進展もなかった。

再びケプラー予想にスポットが当たったのは1900年。

ドイツの数学者、ダフィット・ヒルベルトが20世紀中に解かれるべき23の未解決問題を発表。

その中にケプラー予想、同じ大きさの球で空間を最密充填するにはどうすればいいか?を入れた。

円充填問題を解決したラスロ・フェイエシュ=トートも取り組んだ。

円充填問題のとき、ランダムに並べられた円を囲む多角形を作り、その1つ1つの面積が正六角形の面積より大きくなることを利用した。

3次元の問題である球充填問題に対しても急を囲む多面体を作り、その一つ一つの多面体の体積がある立体の体積より必ず大きくなるという事実を使えば解けるのでは?と考えた。

その立体とは球にぴったりと接するような正十二面体。

ところがこのアプローチには大きな欠陥があった。全く証明にはたどり着けなかった。理由は2次元のときに正六角形が平面を隙間なく覆いつくすことができたのに対し、3次元で正十二面体で空間を覆いつくそうとしても必ず隙間が生じるためだった。

ケプラー予想が出されてから400年近くたった20世紀の終わり、証明がなされたがそれは思いもよらないものだった。

アメリカの数学者。トマス・ヘールズ博士。1998年、最先端のコンピュータと科学計算用ソフトウェアを使い、膨大な場合分けをしらみつぶしに調べ、ようやくランダムな場合を含めても、最大の密度は74.05%であることを証明した。

A proof of the Kepler conjecture

コンピュータのプログラムはこちらに。

Computer resources for the Kepler conjecture

(おお、グラフはJavaで生成して線形計画法をMathematicaを使って解いてるのか!)

砲弾の最も効率的な積み込み方から始まったケプラー予想は、コンピュータと数学者の共同作業という、意外な形での決着となった。

ヘールズ博士の証明はコンピュータを使ったものだったので、当初、完全な証明かどうかは判断できないとされました。

しかし、その後ヘールズ博士自身が11年かけて、新たにコンピュータを使った検証を行い、今では誰もが認めるようになったそうです。

A FORMAL PROOF OF THE KEPLER CONJECTURE

(HOL Light ,Isabelleという定理証明支援のプログラムを使ったとか。詳細は以下のgithubに)

https://github.com/flyspeck/flyspeck

Flyspeck

いや、これに決まっているとしか思えないことでもそれをきっちり証明しようという数学者に執念には尊敬する。

でも数学者たちはこれで満足したわけではなかった。

これまでの話は3次元の話だった。じゃあ4次元のとき、5次元のとき、など考え始めた。

はあ?なんだ5次元や10次元って?

2022年、数学界に1つのニュースが流れた。

ウクライナ人数学者、マリナ・ヴィヤゾフスカ博士。

8次元と24次元という実際には見ることも触ることもできない世界で、球充填問題を解決した博士にフィールズ賞が贈られた。

マリナさんは「ええ、うれしかったですね」と語る。

Maryna

世界の数学者が高い次元での球充填問題に興味を持ったきっかけは10次元での意外な発見だった。

高い次元での球充填も結局規則的な並べ方が最も密度が大きくなるのでは?と考えられてきたが、10次元では既知の格子充填よりも密度が大きい非格子充填が存在することがわかった。

ヴィヤゾフスカ博士たちも、予測不可能な高い次元での充填問題に強い魅力を感じるようになったという。

今も様々な次元での球充填問題を世界の様々な数学者と協力しながら解決しようとしている。

ヴィアゾフスカ博士は

「8次元と24次元は特別でした。とても不思議な現象が起きているのでそれに引きつけられました。数学はたくさんの驚きを与えてくれます。難しい問題に挑戦することは新たな発見につながるということ。だから私は数学が好きです」

と語った。

スイスの大学で最先端の数学に挑み続けるヴィヤゾフスカ博士。その一方でふるさとウクライナで暮らす両親のことが心配でならない日々が続いている。

それでも世界の数学者たちと、意見や考え方の違いを超えて協力し、難問解決に挑む意義をこう語った。

「この世界に人々の心を一つにできるものが少なくなっています。数学はその一つだと思います。どうかアイデアの共有を止めず、お互いが心を開いて数学に関する問題はもちろん、一緒にこの時代の困難に対する答えを見つけてくれることを願っています。」

パンサー尾形さん再登場。

皆さん、いかがですが、砲弾をどうやって船に積み込むかという物騒な話から始まったケプラー予想ですが、数学者たちが国境を越えて協力して解決しようとしているのを見ると、人間の知性は醜い争いを超えてまとまっている力をしっかり持ち合わせているに違いない。

球を積み上げるのは一瞬で正解にたどり着く問題だったのに、何か深い。。。数学なんて自分とは全く関係ないと思っているあなた!

あなただって生きるためにとっても大切な何かを数学から学ぶ日が来るかもしれませんよ。

だから数学で頭を充填しませんか?

じゃあ、また!

そしてピンポン玉をぶちまけるスタッフ。。。みんなで拾おう。1200個?1800個?

2023年11月16日 (木)

Python in Excel(PY関数を使うとExcelのセル内にPythonがかける)を使う(その7) データをcsvでExcelで読んで重回帰分析をstatsmodelsのOLSで行う。が、summaryがExcelのセル内でうまく表示できなくてハマる…summary().as_text()として、セルの書式を折り返して全体を表示を選ぶ。

今回は重回帰分析をstatsmodelsでやってみる。

データはこちらと同じものを使わせてもらった。

https://bellcurve.jp/statistics/course/9702.html

csvファイルをExcelで読んで確認してからPY関数で簡単にかける。

Statesmodel01

問題は、セル内にsummaryを表示しようと思ってもNoneとかSummaryしか表示されないこと。

いろいろ試した結果、summary().as_text()として、セルを折り返して全体を表示する書式にするとやっと表示された。

Statesmodel02

ただ、Matplotlib、どうも日本語フォント入ってなさげ。これはどうしたら…

これまでのもの:

Python in Excel(ExcelであるセルでPY関数を使うとPythonコードがかける)を使う(その1)scikit-learnを使ってアイリス(あやめ)の分類を様々な機械学習(k-最近傍法、ロジスティック回帰、ランダムフォレスト、SVM、ニューラルネットワーク)を試す。Python Editorも試す。

 Python in Excel(PY関数を使うとExcelでPythonコードがかける)を使う(その2)SciPyでローレンツ方程式をsolve_ivpのDOP853(Dormand&Prince 8次のルンゲクッタ法)で計算して、3Dプロットをする。Excel Labs(実験的なアドイン)のPython Editorも補完がきいて便利。

Python in Excel(PY関数を使うとExcelでPythonコードがかける)を使う(その3)20231017は素数なので、素数(素因数分解)カレンダーを、SymPyで素因数分解してデータ並び替え、Excelで積み上げ棒グラフにしてプロット。Pythonで積み上げ棒グラフは面倒なのでこれは楽。

Python in Excel(PY関数を使うとExcelでPythonコードがかける)を使う(その4) 何のライブラリが使えるかpkg_resourcesを使って調査。294個あった。numpy,scipy,scikit-learn,numba,mpmath,Pytourch,sympy,pandas,pillow,matplotlib,statsmodels,pywavelets,transformersなどは使える。

Python in Excel(PY関数を使うとExcelのセル内にPythonがかける)を使う(その5) Excelでcsvファイルを読み込み、Pythonのscikit-learnとNumpyで主成分分析(PCA),特異値分解(SVD)を行いExcelでグラフにする。

 立てこもりで有名になってしまった蕨市が、日本最小面積の市ということでデータを国土地理院のサイトからcsvでExcelに読み込み、Python in ExcelのPandasで解析&Seabornで図示。最大は高山市でした。ー Python in Excel(PY関数を使うとExcelのセル内にPythonがかける)を使う(その6)

2023年11月15日 (水)

松のやでチーズトマトささみかつ定食を(チーズがものすごく伸びて、ささみがさっぱりしているのをトマトが濃厚にしていていい)、かつやで天津飯チキンカツ丼を(ものすごく濃い、甘辛い天津飯でご飯が進む。ご飯大盛にしてちょうどくらい)いただく。

まずは松のやでチーズトマトささみかつ定食。

ささみたっぷりにしようかと一瞬思ったがノーマル版で十分なボリュームでした。チーズが伸びる!

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豚汁に変更した。

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次はかつやの謎メニュー、天津飯チキンカツ丼。

ものすごく味が濃いです。かついらないのでは、、、とか思ってしまったり。ご飯大盛にしないと濃すぎるかもしれない。味はいいです。

これもボリュームがすごい。

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松屋でマッサマンカレー(ご飯大盛)をいただく。まさにゴロチキと同じチキンで、ココナツミルクで甘め+ポテトが多いのでボリュームたっぷりでごろチキより万人向けかもしれない。

ゴロチキはかなりスパイシーで好きだが、これはかなり甘め。でもチキンは同じくたっぷりでポテトもあるからボリュームはこっちが上かもしれない。スパイシーさはあまりないが、ココナツミルクの甘味があるからこっちの方が好きな人も多いんじゃないだろうか。

ご飯は大盛です。

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2023年11月14日 (火)

餃子の王将で11月限定の豚肉たっぷりあんかけ焼そば(フェアセットB)をいただく。確かに豚肉たっぷりであんも生姜風味で麺も香ばしくなかなか美味しかった。

野菜も豚肉もたっぷりの具沢山のあんかけ焼きそばで、味もオイスターソースに生姜がきいていて美味しい。

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2023年11月13日 (月)

リバーサイド・チルドレン(梓崎優さん)を読んだ。巨大なゴミ捨て場から廃品を拾って生活するカンボジアのストリートチルドレンたちに起きる連続殺人事件。殺人が起きるまでのパートも興味深くて途中でミステリであることを忘れた。「叫びと祈り」は読んでおいたほうがいいです。

「叫びと祈り」を読んだ時も思ったけれどすごい描写力、文章力と構成でぐいぐい読ませる作品。寡作なのが残念…

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あらすじは

僕らは、確かに生きている。君という人間を、僕は憶えている。カンボジアの地を彷徨う日本人少年は、現地のストリート・チルドレンに拾われた。「迷惑はな、かけるものなんだよ」過酷な環境下でも、そこには笑いがあり、信頼があった。しかし、あまりにもささやかな安息は、ある朝突然破られる――。突如彼らを襲った、動機不明の連続殺人の真相とは? 激賞を浴びた『叫びと祈り』から3年、カンボジアを舞台に贈る鎮魂と再生の書。

というもの。今回はトリック云々より動機が…これは悲しいお話。前作の「叫びと祈り」を読んでなくても大丈夫ですが、読んでいた方がいいシーンも出てきます。

 

 

2023年11月12日 (日)

すき家で肉味噌牛坦々鍋定食(肉2倍盛り、ご飯大盛)をいただく。肉2倍だけあって肉の量がすごく、うどんの量も多い。辛さはそうでもなくてピリ辛程度ですが、とても温まる。

せっかくなので肉2倍盛にした。肉が食べても減らない感じでとても多い!想像していたよりうどんの量も多いし、野菜も十分な量でおいしかった。もうちょっと辛くてもいい(過去の麻辣火鍋くらい)ですが、万人向けならこのくらいのほうがいいのかも。

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2023年11月11日 (土)

マーベルズを観てきた。かなり面白かった!ミズ・マーベル、カマラのキャプテン・マーベル・おたくぶりが半端ない!家族も面白いし(でも家が…)。しかも正式に二次創作ネタを提供?でパク・ソジュンがすごい役で登場。あの動物たちも大挙登場。

実はあんまり期待してなかったがかなり面白かった!

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ポストカードもらった。

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とにかくミズ・マーベルことカマラのキャラが面白くて、キャプテン・マーベルおたくでもあり自分でコミックも描いていて、そして家族がまた強烈なキャラ。

キャプテン・マーベルは相変わらず無敵ですが、今回は過去に犯した失敗にしょげるシーンも。

モニカとキャロルとカマラの3人の特訓シーンは本当に楽しそうで、実際も仲よさそうな感じで好感が持てたり。

でキャプテン・マーベルの友達のこの人誰だっけ、、、名前が、、、と思ったらエンドクレジットでやっとわかった。

ヴァルキリーだ!

https://marvel.disney.co.jp/movie/thor-love-and-thunder/character/valkyrie

いろんな人種を出すのは最近のハリウッド映画のお約束だが、パク・ソジュンがすごい役で登場。

二次創作を提供とバイリンガルには笑った。

そして…

最後はあの映画の世界線とドッキングした。これはどうなるんだろう。

ちなみに猫好きの人は最後の最後まで席を立たない方がいいかも。

 

2023年11月10日 (金)

JR奈良駅の虹色の裏側を見て、JR長池駅に立ち寄り伝説を見て、荒見神社でお参り。そして近鉄大和西大寺駅の展望デッキを見る。

正倉院展を観に久々に奈良に来たので立ち寄ったところなどを。

JR奈良駅。レインボーカラーですが、

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裏はこんな感じ。

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JR長池駅。

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大蛇の伝説が書かれている。

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アルプラザを抜けて、

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荒見神社でお参り。

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おまけですが、近鉄の大和西大寺駅にも立ち寄り、展望デッキへ。

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2023年11月 9日 (木)

パンサー尾形さんのNHK笑わない数学 超越数を見てメモ。紹介されていた1/3と√aの作図をGeoGebraでやってみた。そして尾形さんがエルミート・リンデマンの定理を使ってπが超越数だと証明し、E.T.ベルの漆黒の闇の名言とコンツェビッチさんの周期まで。

パンサー尾形さん登場。

今日のテーマは、超越数。そう、どこかで使いたくなるかっこいい言葉だなと思いますよね。言ってみれば人知を超えたウルトラスーパーな数、ということです。つまり超越数は1とか5/3とか√2とかとレベルが違うものすごい数なんです。

こんなことから考えてみましょう。今からおよそ2400年まえ、ギリシャの哲学者アナクサゴラスはこんな問題に悩んでいた。

半径1の円と同じ面積の正方形は描けるか?

ただし、使って猪野は定規(目盛り無し)とコンパスだけ。簡単そうに見える?いや2000年以上誰も解けなかった超難問だ。

円の面積はπだから、面積πの正方形の1辺は√πなのでこれが定規とコンパスだけで描けるか?ということになる。

定規とコンパスだけ、というのがよくわからない?ではやってみましょう。

ここの長さ1の線分があります。これを元に長さ3を作図せよ。

まずは定規を使って適当に直線を描く。線分Aの長さにコンパスを合わせる。コンパスは長さを写し取れるので3がかける。

では長さ1/3は?

まず適当に引いた直線にコンパスで1の長さを2つ作ります。さらにコンパスを使って適当な長さを半径に、まず1点目を中心に円を、もう1点目を中心に円を描く。円の交点と最初に描いた線の真ん中を結ぶと、垂線になっている。

でその直線に垂線の交点から3つの長さ1を写し取り、3の長さを作る。最初の点のどちらかと結ぶと、直角三角形ができる。

今度は円の交点からさっきと同じ方法で垂線を描く。

2つの三角形ができるが、これは形が同じで大きさだけが異なる相似になっている。ということは底辺は3:1だったから、高さの比もそうなる。

大きい方が高さ1なので、小さい方は1/3。

(って文章で書いてもわからないのでGeoGebraで描いてみる。ほんとだ!)

https://www.geogebra.org/

Geogebra1_3

ちなみにこれまでで分かったことを使えば、5の長さも、11の長さも描けるし、1/5も3/5も描けるし7/11も描ける。

どんな自然数も分数(有理数)も描ける。

もう一つ、√の長さも作図できる。長さ√aを作図せよ。

適当な直線を描いて、1の長さとaの長さを写し取る。その中点をコンパスで作図し、その中点を中心とした半径をそこから端までとした円を描く。長さ1の内側を通る垂線を描き、円に交わる点から両端の点に線分を描く。すると2つの大小の直角三角形ができる。

これも相似。高さをxとすると

1:x=x:a

x^2=aになるのでx=√a

(これも分かりにくいのでGeoGebraで√2を)

 

Geogebra_root2

なるほどー!

でもこれで長さaが作図できれば√aが作図できることがわかった。

パンサー尾形さん再登場。学校で習った気がするけど完全に忘れてるなー(私もだ)。

ここでさっきのアナクサゴラスを思い出そう。

長さ√πが作図できるか?

√は作図できるので、長さπが作図できればいい。

πは作図できるか?アナクサゴラスもここまでは分かっていた。しかしどう知恵を絞っても作図する方法はわからなかった。

なぜπは作図できないのか?

その理由を全く新しいアプローチで考えたのが19世紀ドイツの数学者で円周率πの征服者と言われる

フェルディナント・フォン・リンデマンだ。

その方法は超越数と深い関係がある。

作図できる長さは自然数、有理数、√だった。

リンデマンは作図できる長さにはそれぞれに対応する方程式が存在する、ということを考えた。

1/3 は 3x-1 = 0の解

√2は x^2-2=0の解

実は作図できる長さは方程式の解(整数係数の一変数代数方程式の解)になっている。

その数には代数的数という名前がついている。

言葉が難しい?とにかく!作図できる数は代数的数に含まれている、ということだけ覚えておいて。

リンデマンが考えたこと。

もし代数的数にπが含まれないなら、作図できる数にはならない、そして代数的数にならない数には特別な名前が付けられた。

それが超越数。

つまりリンデマンはπが超越数であることの証明を目指した。

パンサー尾形さん再登場。

πは代数的数なのか?超越数なのか?アナクサゴラスの問題を解くカギだった。

代数的数は性質が徹底的に調べられてきた。カルダーノやフェラーリは3次方程式、4次方程式を調べ、若き天才ガロアは5次方程式以上には解の公式が存在しないことを証明した。

数学者たちがいじくってきたのは全て代数的数だった、といっても過言ではない。

ちなみに2乗するとマイナスになる虚数iも代数的数。なぜならx^2+1=0の解だから。

代数的数ではない超越数はどんなものか?πは超越数なのか?

リンデマンはどんな方法で証明しようとした?

それを見る前にリンデマン以前の歴史をたどろう。

超越数があるのかないのかわかっていなかった18世紀のころから、もしかしたら超越数なんじゃないか、と疑われていた数があった。

一つが円周率π、もう一つは自然対数の底 e。

最初のターゲットはeだった。19世紀前半のパリ, eが超越数であることの証明を目指したのは当時の数学界のリーダーの1人、ジョゼフ・リウヴィルだった。しかしリウヴィルは証明にはたどり着けなかった。追い詰められた。

そこでリウヴィルが考えたのは人工的に超越数を作ってしまおうと考えた。

1844年、ついにたどり着いたのがリウヴィル数だった。

1/10 + 1/10^(1x2) + 1/10 + 1/10^(1x2x3) + 1/10 + 1/10^(1x2x3x3) + …

分母がどんどん大きくなる数を足し合わせた奇妙な数。小数で表すとほとんど0ばかり。0.11000 10000 00000 00000 0001...

この数は超越数であることをリウヴィルは証明した。

超越数の歴史に詳しいソルボンヌ大学のミッシェル・ワルドシュミット博士は語る。

https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/aboutme.html

「リウヴィルの示した数は非常に独創的でした。彼が実際に超越数の存在を証明したことは当時の数学者たちをとても驚かせたのです」

パンサー尾形さん再登場。

いやー、誰も見つけることができなかった超越数を発見したとはリウヴィルはすごい。でも自分で作ったのは無理やり過ぎない?

πとかeとかが超越数だった、という劇的な展開が見たいなと思いませんか?

リウヴィルの発見からおよそ30年後の1873年、eが超越数であることの証明にたどり着いたのはシャルル・エルミートだった。

エルミートが用いたのは背理法。eが超越数ではなく、代数的数であると仮定すると矛盾が生じる。

a_n e^n + a_n-1 e^(n-1) + …+a0 =0

が成り立つとすると、ある奇妙な数、Jが求められるがこれはものすごく大きい数でもあり、かなり小さい数だという矛盾が生じる。

だから最初の仮定が誤りで、eは超越数だと証明された。

そして1882年、ドイツ。πが超越数だと証明したのがあのフェルディナント・フォン・リンデマンだった。

ただしリンデマンは直接証明したのではない。エルミート・リンデマンの定理、

αが代数的数ならばe^αは超越数である(ただしα≠0)

ということを証明した。

このエルミート・リンデマンの定理を使えばπが超越数だと証明できる。ということで尾形さん、証明してください。

ということでパンサー尾形さん再登場。証明を行う。

πが超越数であることを証明せよ

仮定:πは代数的数だとしたら?

虚数iは代数的数なのでiπも代数的数。

ここでエルミート・リンデマンの定理を思い出す。αが代数的数ならばe^αは超越数である(ただしα≠0)

αにiπを入れてみると?

e^iπは超越数になるはず。ところがオイラーの公式からe^iπ=-1

-1は代数的数。なので矛盾。

仮定が間違っていたことになり、πは超越数。サンキュー!

その後も超越数探しは熱を帯びていくが、見つかったのはわずか。レアキャラのような存在だった。

超越数は数のなかで少ない外れもの?

いやそうではない。無限の回で登場したゲオルク・カントールは自然数の個数と実数の個数を比べて、実数の個数の方が圧倒的に多いことを示した。またカントールは自然数の個数は代数的数の個数と等しく、実数の個数より少ないことを証明した。

実は数のほとんどは超越数なのだ。

イギリスのある数学者はその驚きをこんな言葉で表現した。(数学者E.T.ベル)

「代数的数は漆黒の空にある星のように光っている。漆黒の闇は超越数である」

Eric Temple Bellさんだそうだ。

https://libquotes.com/eric-temple-bell/quote/lbc1a4k

Erictemplebellquotelbc1a4k

どうです皆さん、私たちが知っている数は数全体から見れば取るに足らない存在で、数の大部分は私たちが知らない超越数が占めている、という驚きの事実。

私たちは数というものを全く知らないと言っても過言ではない。数学者たちは次にどんなことを考えているか。

超越数の分類だ。

21世紀の数学を牽引する天才の一人、フランス高騰科学研究所教授のマキシム・コンツェビッチ博士。

2001年に提唱したのは超越数の分類方法だった。

注目したのは積分記号。

πは積分記号でπ=2∫√(1-x^2)dx (x=-1 ~ 1)と表せるが、eやリウヴィル数は表せない。

∫はある種の代数的労委騎乗での代数関数の積分。

コンツェビッチ博士は積分記号で表される超越数を周期と名付け、周期とそうでないものに分類することができた。

https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-56478-9_39

Periods

今後の数学を大きく進歩させる可能性を秘めていると言われている。

周期の登場は今後長い間人間の精神活動に喜びと活力を与え続け、数学を進展させるエネルギーを与え続けるのではないか(大阪大学 吉永正彦教授)

数という広大な未知の世界。人類はその第一歩を踏み出したばかりなのかもしれません。

パンサー尾形さん再登場。

数学のことを知れば知るほど、人類の知性の果てしなさに誇らしくあることもあれば、どんな天才でも届かない闇にただ無力を感じることがあって、なんだか恐ろしい感じがしてくる。

数学は魅惑と恐怖があるミステリー小説みたいなものじゃないのか、今日もまたこんな思いにひたった。

最近すっかり本を読まなくなったのも、数学という超本格ミステリにはまっているからかもしれません。

え?お前は最初から文字を読んだりしないのでは?

いや今日もたくさん読んだよ(カンペが膨大に…)

次回はケプラー予想。

 

 

 

 

2023年11月 8日 (水)

丸亀製麵でうま辛まぜ釜玉(得盛、ひとくちご飯付き)を頂く。これはいろんな具材が入っていて食感も面白くて美味しいな。

肉そぼろに、ラー油を効かせたピリ辛白ねぎ、小松菜ナムル、刻みのり、辛かつお粉、そしてこだわりの玉子。”の6種類ということで食感も面白い。よく混ぜて食べるとかなり美味しい。ちくわの磯部揚げとかしわ天も付けた。

最後にご飯を残った具材と混ぜるのが、うどん本体より美味しかったりする。

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2023年11月 7日 (火)

阪急京都線でちいかわ×阪急コラボ電車に乗った。3種類もあるのか!どうやらうさぎ号だったよう。

たまたま乗った電車がちいかわ号だった。

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ただこれ3種類もあるそうだ。これ全部乗るのは大変そう…

https://www.hankyu.co.jp/area_info/chiikawa_hankyu2023/index.html

 

2023年11月 6日 (月)

もしも猫展@京都文化博物館を観てきた。歌川国芳さん、というか日本人、どれだけ昔から猫好きなんだ!猫の擬人化いっぱいで力士になったり温泉に入ったり学校に行ったり毬蹴ったり。雀や蛙もたくさん。人間の内部構造図がロボのよう。そして百面相がすごい。

  前から行こうと思っていたもしも猫展にようやくやってきた。歌川国芳やその他の猫愛にあふれた浮世絵だらけ。でもこれが人気だったということは当時から日本人は猫好きだったのか。

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毬を蹴ったり、

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玉乗りしたり、

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これは有名な化け猫。

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人体構造図。ロボット図解のようだ。

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花見したり、

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猫のお相撲さんには笑った。

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猫の百面相はすごい。人間の百面相をずっと描いていて腕が上がったとのことでした。

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おこまさんの話も面白かった。

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 猫好きの方はぜひ。

 

2023年11月 5日 (日)

第75回 正倉院展(2023)@奈良国立博物館へ行ってきた。予約はしているものの大行列に驚く…螺鈿飾りの琵琶や鏡には圧倒される。スッポンの眼にも驚く。一番印象的だったのはガラス玉とその製作法だったりした。斑犀如意もケースも込ですごい。

中は写真NGなので外で並んでいる風景のみを。

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結構予約ぎりぎりの時間にならないと並ばせてもらえないのに注意。

どれもすごかったがやっぱり螺鈿がすごい琵琶や鏡が印象的。巨大な鏡もあったがそれは飾りはなく、それはそれですごくて10kgあるとか。

スッポンの置物の眼が赤くて驚いたり、ビー玉のようなガラス玉が綺麗で、その製法も書いてあって頭いいなとおもったり。

斑犀如意という孫の手のようで、先に凄い飾りがついているものはケースもその先端をすっぽり収めるような形状になっていてそれもすごい。

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一回も行ったことがない方は一度行くのをお勧めします。

2023年11月 4日 (土)

ゴジラ-1.0をIMAXで観てきた。かなり面白かった!凶悪なゴジラ、波動砲のような熱線(発射シーケンスがかっこいい)、当時のテクノロジーでの対抗(逆に今できない方法)、そして泣き要素(子役がうまかった)、そしてタイトルの-1.0の意味が最後の最後でわかるという。

IMAXの大画面で観ようと109シネマズ大阪エキスポシティまで。20231104-095035 20231104-095037 20231104-095322

なんといってもゴジラの凶悪な顔がよかった。最初の出現からびっくりですが、

ビキニ環礁の核実験でさらに巨大化(というのは明言されてないが)。人を積極的に殺しに行くところが恐ろしい。いやあれはアメリカのせいだから日本に来られても…

多分ゴジラ映画史上、最弱の船で応戦するのがよかった。

そして東京上陸、なんかいろんなものが飛んでいく(船とか電車とか)のが現実味なさすぎで余計怖い。

浜辺美波さんはどんなボロ着を着ていても美しい。

子役が泣くのは反則!と思えるくらい泣くシーンで一緒に泣いてしまう…

神木隆之介さんはこういう最初ヘタレの役うまいなあ。最後は、、、ですが。

印象に残った言葉は「情報統制はこの国のお家芸」「この国は人の命を粗末にし過ぎてきた」

米軍も日本政府も手助けしない状況で元海軍兵たちと、メーカー(東洋バルーン)が命がけ、だけれども命は捨てずに立ち向かうのは胸熱。

ハンソロ展開をあの人がやるとは!も。

当時の技術で出来る対抗策を考えているのもよかった。

ただ今は使えないもの、としたのはあえてでしょうね。

そして戦闘機は

震電

と書くのか。

あといろんな人がカメオ出演してたような。橋爪功さんははっきり映ってたが。

そして浜辺美波さんの首の痣(ジョースター家?)と最後の最後で-1.0の意味が分かるという…プログラムができる人へのヒントは"--"か。

ということでC言語で。

 

2023年11月 3日 (金)

パンサー尾形さんのNHK笑わない数学 虚数を録画したのを見てメモ。(-1)×(-1)=1の証明、カルダーノの公式、オイラーの公式、ガウスの代数学の基本定理、そしてシュレディンガー方程式も登場。Python(SymPy)で出てくる式をいろいろ計算してみた。

第1シーズンでやっていたのを見逃していた虚数をやっとみられた。以下メモ。

パンサー尾形さん登場。虚数。そう、2乗するとマイナスになる…アレです。。√-1(虚数単位i).

なんか学校で習ったなー、あれのせいで数学が嫌いになったんだよなー、なんて人もいるかもしれませんね。

虚数はとてつもなくへんてこりんな数なんです。

例えば√-1と2√-1、これどっちが大きい数?どっちともいえない。

そもそも私たちが知っているどんな数でも2乗すればかなららず+の数になりますよね。それなのに2乗してマイナスになるなんて、

異常すぎます!

虚数はひょんなことから数学の歴史に登場することになるんですけど、数学者を何百年も悩ませた。

しかし虚数なんてありえないと考えていては、数学はうまくいかない。それどころが私たちだって虚数がなければ存在さえできないことがわかってきた。

一体なぜ虚数のようなへんてこりんな数をうけ入れなければならないんでしょう?

それを知るために私たちが1,2,3,4,5、…といった数や、11/35、√2、といった数を受け入れることができているのかを考えていこう。

そもそも数はどうやって誕生したのか?それは歴史が始まるはるか以前、私たちの祖先はりんごとロープがまかれた杭に共通点があることに気付いた。例えば3。抽象的な概念を発見した。

同じように身の回りのさまざまなことから自然数と呼ばれる数を見つけていった。

分数を受け入れるのは難しいことではなかった。一つのリンゴを3つに分ければ1/3、5の長さを2つにわければ5/2の長さというわけです。

自然数と分数で表される数で、世界のあらゆる長さが自由自在に表せた。

自然数と分数、今でいう有理数が数の全てだと思っていた。

しかし√2のような無理数は含まれていない。人類が無理数を受け入れるのには時間がかかった。

一つの事件を紹介しよう。

主人公はピタゴラス。ピタゴラスは数学者であっただけでなく、教団の教祖でもあった。数多くの弟子を率いていた。

スローガンは「万物は数である」(この場合の数は有理数)。

ところが数を研究するうちに大騒動が巻き起こる。それはピタゴラスの定理(三平方の定理)。直角三角形では斜辺の長さの2乗は他の辺の長さの2乗を足し合わせたものになる。

a²+b²=c²

このことからピタゴラスの弟子のひとり、ヒッパソスがとんでもないことを発見してしまった。

ヒッパソスの発見は、辺の長さがどちらも1の直角三角形で斜辺はどうなるか?

2 = c²

だからいまなら√2。

ヒッパソスはこれが無理数であることを証明してしまった。

ピタゴラスはヒッパソスを処刑してしまったと伝わっている。

なんで√2が有理数で表されないか、パンサー尾形さんが証明する。

√2が有理数で表せたとしたら何が起きる?

√2=Q/Pと仮定する。

√2P=Q

両辺を2乗すると、

2P^2 = Q^2

Q^2を素数の掛け算に分解したとき、素数2は偶数個でてくる?奇数個出てくる?

Qがどんな数だったとしてもQ^2には偶数個出てくる。

左側は?

Pがどんな数だったとしてもP^2には偶数個でてきるから2P^2には奇数個出てくる。

あれ?左が奇数個で右が偶数個?矛盾している。

背理法によって最初の仮定が間違っていたことになる。√2は有理数では表せない。

自然数、有理数、無理数を発見した人類。次はいよいよ虚数?

いえいえ、その前にあと2種類受け入れるのに苦労した数がある。

それは0とマイナスの数。

なぜ0を発見するのにそんなに苦労したのか?それまでの数は必ずそこにあるものとして見たり触ったりできた。

何もない物は数で表せす必要がなかった。

今でいう102を表すときにも0は使われていなかった。1・2という数字ではない記号が使われていた。

7世紀ごろのインド。

商売が盛んだったインドではお金の計算のために独特の計算方法が使われていた。

その一つが今でいう縦計算。例えば

   1 2 3

-     1 3

-------------

  1 1 ・

になる。ここで1の位に注目する。3-3=・。独立した数字のような役割を果たしていることに気付いた。

これが0の発見。これ以降、0が他の数を同じように受け入れられるようになった。

マイナスの数は?

リンゴを一つも持っていない人がりんごを4個あげるのは不可能なので、0-4=0と考えたい。

でもインドではマイナスの数の発見も早かった。

リンゴを持っていない人がリンゴを4個あげると言えば、それは4個分の借りを作ることを意味する。

よって0-4=4の借り。借りを表す記号で-を使うようになり、0-4=-4になった。

商売が盛んだったインドならではの発想。

数の歴史に詳しいイギリスの数学者イアン・スチュアート博士は

https://warwick.ac.uk/fac/sci/maths/people/staff/ian_stewart/

0とマイナスの数の発見は数学にとって革新的だったと考えている。

「0とマイナスの数の発見で重要なことは、数学に関するより多くのことを簡単に理解できるようになったことです。

0とマイナスの数を受け入れたことによってそれまで存在しなかった全く新しい問題が生まれ、数学の発展につながったのです。」

パンサー尾形さん再登場。

なるほど。でも皆さん、マイナスの数の計算ってすんなり受け入れられた?

しっくりこなかったのがマイナスの掛け算。

なんで

(-1)×(-1)=1

になるのか?そんなバカなと思った。しかし今ではすっかり納得しているというパンサー尾形さんが証明する。

まず

(-1)×1 =-1

これはOK?マイナス1を一個持ってくればそれはマイナス1ってことでOK.

次に

(-1)×{(-1) + 1} = 0

括弧の中は0だからOK。

これを書き直すと?

(-1)×(-1) +(-1)×1=0

(-1)×(-1)-1=0 (最初の式から)

両辺に1を足して

(-1)×(-1)=1

(カンニングはたくさんしたが完了)

これで数直線上のすべての数、実数を見つけ出した。さあこれからお待ちかね、虚数の話。

舞台は16世紀のイタリア。医師、賭博師、占星術師、数学者の顔を持つジェロラモ・カルダーノがいた。

カルダーノはある自慢の公式を持っていた。それは3次方程式の解の公式。

Cubic

どんなふうに答えが求められる?

x^3 + x -2 =0なら代入して

x=1と求められる。

カルダーノはヨーロッパ有数の数学者として知られるようになった。

ところがある日、カルダーノは

x^3-15x-4=0

を解こうとしていた。この式はx=4を代入すると

64 - 60 - 4 =0で成り立つのでx=4は解。

では解の公式に入れると?(PythonのSympyで書いてみた)

Cubic2

この世に存在しないはずのマイナスの数の√、i=√-1が現れてしまった。

こんなばかなことはあり得ない。カルダーノは計算を途中で放り出した。

引き継いだのはラファエル・ボンベリ。

ボンベリもマイナスの数のルートはあり得ないと考えていたが、我慢して計算を続けてみた。

すると、出てきた答えは正解の4。

なんと、カルダーノの公式はマイナスの数のルートを経由しなければ正しい答えにたどり着かないことがあることがわかってしまった。

この√-1は何人もの数学者を悩ませた。17世紀のルネ・デカルトはマイナスの数のルートなどあり得ないという意味を込め、

nombre imaginaire

虚数と名付けた。

アイザック・ニュートンは方程式を解くときに時折現れる虚数について、虚数の解は不可能とみなされるべきである、と残した。

虚数は数として認めるには余りにもとらえどころがなさすぎる。200年ほどこの空気が流れた。

パンサー尾形さん再登場。

当然のことのように思える。数直線の上に虚数が入るところはどこにもない。

しかしこの難問を数学者は解き明かすことになる。

レオンハルト・オイラーは考えた。もし虚数が数であるならば他の数と深い関係があるはずだ。

オイラーは√-1にiという記号を与え、ついに世界で最も美しいと言われる数式にたどり着いた。e^iπ + 1 = 0だ。

Euler

この大発見は衝撃を与えた。

続いて数学の王、カール・フリードリヒ・ガウスは、実数と虚数を組み合わせた複素数を研究した。

そして代数学の基本定理、複素数の範囲ではn次方程式はn個の解を持つ(重解は重複して数える)

を証明した。

複素数を数と認めるならn次方程式は必ず解をn個持つ。

例えば4次方程式の場合(Sympyで計算)

Quad

このように複素数の範囲で必ず4個の解を持つ。

ガウスは衝撃を受け、このようなことを書き残した。

「素数の存在を無視してしまえば、数学の美しさと滑らかさが大いに失われ、これまで通用してきた真理にさえ絶えず厄介な制限を加える必要を生ずるであろう」(ガウスからベッセルへの手紙)

さらにガウスは数直線と虚数の正しい位置関係を発見した。数直線の上下に存在した。(ガウス平面)

この複素数を使った複素関数論は数学の最も美しい分野ともいわれるようになった。

イアン・スチュアート博士は

「虚数を取り入れることで数学ははるかに強力になりました。虚数は他のどんな数と比べても決して”想像上の数”ではなかったのです。これは驚くべきことです」と語る。

パンサー尾形さん再登場。

虚数があるからこそ、数学があるという感覚を持つようになった。

虚数は数直線と直角に交わるもう1本の別の数直線を使って表される数だった。

でも私は数学者じゃないし、、、と思っているあなた!これを見て欲しい。

20世紀初頭、数学とは少し離れた物理学の分野で大発見があった。

電子や原子などミクロの世界を表す量子力学のシュレディンガー方程式

Schrdingerequation

にあの虚数iが登場していた。(これは最初見たとき私も驚いた記憶が)

これはこの世のありとあらゆるものを支配している。虚数は現実世界においても欠くことができないものだと信じられるようになった。

パンサー尾形さん再登場。

最初は気持ち悪いやつと思われていたのにこの世界の基礎になっている。

ありとあらゆることに繋がっているには納得がいく。

だって、i(愛)はすべてを包むって言うじゃないですか!

(ハイ、カット!が早い。NGです。)

2023年11月 2日 (木)

立てこもりで有名になってしまった蕨市が、日本最小面積の市ということでデータを国土地理院のサイトからcsvでExcelに読み込み、Python in ExcelのPandasで解析&Seabornで図示。最大は高山市でした。ー Python in Excel(PY関数を使うとExcelのセル内にPythonがかける)を使う(その6)

いきなり蕨市がこれで有名になってしまった。

埼玉 立てこもり 容疑者「郵便局のバイクと事故で対応に不満」

で蕨って難しいな、とか調べていると蕨市が市としては日本で面積最小らしい。どのくらい?と思って国土地理院のサイトを見てみると、

これまでに公表した面積調(昭和63年以降)

CSVファイルでダウンロードできる。これは最近やってるPython in Excelにちょうどいい例題、ということでやってみた。

ファイルは市区町村全部入っているのと、境界とかも入っているので全部落として記述統計までやって、最大の市と最小の市をだすのはExcelではなんか技がいりそうだが、Pandasで簡単にできた。最大は高山市ですな。

Warabi10

seabornでヒストグラムも描いてみた。

Warabi11

ただ、日本語がうまく使えない…フォントが日本語がPython in Excelに入ってないっぽい?

もうちょっと考えよう。

これまでのもの:

Python in Excel(ExcelであるセルでPY関数を使うとPythonコードがかける)を使う(その1)scikit-learnを使ってアイリス(あやめ)の分類を様々な機械学習(k-最近傍法、ロジスティック回帰、ランダムフォレスト、SVM、ニューラルネットワーク)を試す。Python Editorも試す。

 Python in Excel(PY関数を使うとExcelでPythonコードがかける)を使う(その2)SciPyでローレンツ方程式をsolve_ivpのDOP853(Dormand&Prince 8次のルンゲクッタ法)で計算して、3Dプロットをする。Excel Labs(実験的なアドイン)のPython Editorも補完がきいて便利。

Python in Excel(PY関数を使うとExcelでPythonコードがかける)を使う(その3)20231017は素数なので、素数(素因数分解)カレンダーを、SymPyで素因数分解してデータ並び替え、Excelで積み上げ棒グラフにしてプロット。Pythonで積み上げ棒グラフは面倒なのでこれは楽。

Python in Excel(PY関数を使うとExcelでPythonコードがかける)を使う(その4) 何のライブラリが使えるかpkg_resourcesを使って調査。294個あった。numpy,scipy,scikit-learn,numba,mpmath,Pytourch,sympy,pandas,pillow,matplotlib,statsmodels,pywavelets,transformersなどは使える。

Python in Excel(PY関数を使うとExcelのセル内にPythonがかける)を使う(その5) Excelでcsvファイルを読み込み、Pythonのscikit-learnとNumpyで主成分分析(PCA),特異値分解(SVD)を行いExcelでグラフにする。

2023年11月 1日 (水)

「傲慢と善良」(辻村深月さん)を読んだ。これは重いわ…全ての登場人物のセリフがもうリアルで…私も田舎出身なので田舎のことはわかるし都会に出てて、こんな嫌な奴が、とか。婚活小説で恋愛小説でミステリ要素もあってそして最後は、ああよかった、と思える名作だと思う。

これだいぶ前に買っていたけれどなんかヘビーそうということでちょっと置いていた…ようやく読んだ。確かに重いが面白いと思った。名作だと。

20231031-202941

あらすじは「婚約者・坂庭真実が忽然と姿を消した。真実はストーカーに付きまとわれていたという。居場所を探すため西澤架は彼女の過去と向き合うことになる。彼女はなぜ姿を消したのか?」

というもの。今の社会のリアルな婚活とか恋愛とか、田舎の人の考え方とか、都会の(あの女友達本当に嫌だった)嫌な人たちとか。

登場人物の言ってることはいちいちリアルで考えさせられるものばかり。

途中でどよーんと重くなるが、、、

ラストはああ、よかったー!と思えるものだった。

いや面白いです。お勧め。

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