パンサー尾形さんのNHK 笑わない数学スペシャル ホッジ予想を見てメモ。オイラー数、デカルト座標、ポアンカレのベッチ数、ネーターのコホモロジー、たくさん見つかるコホモロジー、グロタンディークのモチーフ、そしてドリーニュさんのインタビューという構成でした。

めちゃくちゃ長くなったので（続きを読む）で分割してます。

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田園が流れる中、音楽家風のかつらを被ったパンサー尾形さん登場。スーツの襟のピンがV-E+F=2だ。

音楽にはその一つ一つにモチーフと呼ばれる短い旋律が存在していて、その短いモチーフが音楽を支配しているのはご存じでしょうか？

田園のモチーフが説明される。

この旋律がいろんな音程・テンポであちこちに登場することでこの曲を特徴付け、支配している。

モチーフこそが音楽の魂、本質ともいえる。

そこで音楽が止まり…早く番組始めろということですか。

かつらを取って…今日のテーマは「ホッジ予想」。

イギリスの数学者、ウイリアム・ホッジが1950年に提唱した図形の本質に迫る未解決問題です。。

え？方程式は苦手だけど、図形なら得意？いいですねえ！

さっそくホッジ予想とはどんな問題なのか見てみましょう。

ホッジ予想は、

「非特異な射影的代数多様体のタイプ(p,p)のコホモロジーに対しそれをクラスとする代数的サイクルが存在するはずだ」

分かります？分かんないっすよね？

この予想、数学者さえビビってしまうほどの何が何だかよくわからない難問なんだそうです。

ある数学者はこう言っている。「専門家の直感からさえも遠く離れた対象を扱うものでそれが本当は何を言っているかについての意見の一致さえない」（キース・デブリン「興奮する数学」）

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今日はこの難解なホッジ予想とはどんな問題なのかについて迫りたいと思います。わら数史上、最高難度！スペシャルですから！

まずコホモロジーと呼ばれる概念が一番重要なんですが、実は超頭のいい大学の数学科の学生にとっても何だかわからないなあ、というものなんだそうです。

だからまずコホモロジーの基礎の基礎から始めましょう。浜ちゃん、カモン！

（浜ちゃんが大きなパネルを押して登場）

同じ形の三角形が貼られていて、1つを角度を変えて貼り付ける。問題：図形を動かしたときの「不変量」を求めよ。

不変量？

動かす前と後で三角形のある角度が同じ。当たり前のことじゃないか？

辺の長さも同じです。当たり前だけどね。

では次、拡大や縮小したときの不変量を求めよ。

長さは変わっているから不変量じゃないけれど角度は全部不変量。

次、図形をグニャグニャに変形した時の不変量を求めよ。

粘度みたいにグニャグニャにしたってこと？不変な量なんてあるわけない。絶対にないよー！

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いえいえ尾形さん、実はぐにゃぐにゃに変形しても変わらない意外な不変量があるんです。

それがコホモロジーへと繋がっていくんです。

驚きの発見の先駆けになったのはこの番組のレギュラー、レオンハルト・オイラーでした。

文通が大好きだったオイラー、手紙の中でも数学の議論をしていた。友人にこんなことを書いた。

「驚いたことに私が知る限りあらゆる立体図形が持つこの性質にまだ誰も気づいていない」（ゴールドバッハへの手紙）

それは、頂点の数-辺の数+面の数はどんな立体図形でもグニャグニャ変形の前と後で変わらない。

これは本当？

さっきの図形で確かめる。計算結果は2になった。グニャグニャ前後で変わらない。

実はオイラーとそのあとの数学たちは

頂点の数-辺の数+面の数はどんなにグニャグニャに変形させたとしてもいつも必ず2になるという事実を発見した。

この不変量はオイラー数χと名付けられた。

オイラー数、シャボン玉のような頂点がはっきりしない滑らかな図形でも求めることができる。

その方法は、図形を小さな三角形に分割して、その頂点、辺、面の数を数えて計算するとやはり2になる。

分割のやり方をどう変えても2になる。

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また尾形さん登場。いやーびっくりだな。不変になるものは絶対ないと思ったが、オイラーはすごいな。

え？俺はオイラー数が2にならない立体だって知ってるぞって？

その通り。

一体どんな図形？五角形の建物の真ん中に穴が開いたような立体図形のオイラー数を調べると0になった。

穴が一つ開いている図形なら、ドーナツのような滑らかな図形でも0になる。

実は穴が一つ開いた図形はどんな図形でもオイラー数は0になる。

穴が2つ開いている図形ではオイラー数は必ず-2になることがわかっている。

更に穴がg個、開いている図形ではオイラー数は2-2gになる。

オイラー数は図形をちょっとやそっといじくったとしても決して変わらない、いわば図形の魂のようなものだ。

もっと言えばオイラー数はそれぞれの図形を特徴付け支配している本質だってことなんですよ！

あれ？ひょっとしたら皆さん、オイラー数の式は地味で凄さがわからない？

第一、何の役に立つの？と思っているんじゃないですか？

この発見を逆手にとれば、もし同じオイラー数を持つ図形があれば見た目は全然違ったとしても図形の魂、本質が同じなんだからグニャグニャ変形していけば同じ形にできるということがわかるんです。

オイラー数を比べれば似た者同士か判断できる、ってことなんですよ。

え？まだよくわからない？では実際にやってみよう。

浜ちゃんカモン！（また浜ちゃん登場）

この立体図形はどれと似たもの同士？輪っかになったりして一見わからないような図形がでてきた。穴にあいた穴を通る穴。

そのオイラー数を計算する。-4になった。

穴が三つ開いたような図形と似たもの同士だった。

見た目が全然違う図形の本質を見抜き、仲間かどうかを判定できるオイラー数、やっぱりすごいでしょう？

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いったんここで気分を変えてみましょうか？いろんな図形が出てきましたが、数学者たちはどんな図形を研究してきたんでしょうか？

微分・積分の回では古代ギリシャの数学者たちは円、楕円、放物線などに夢中になっていた話をしました。

そのほかにも楕円体、円柱、円錐なども研究対象でした。

え？意外と単純な図形を研究していたって？そうなんですよ。ある数学者が登場するまでは…

その数学者の名前はルネ・デカルト。デカルトは様々な図形が座標を用いることで数式で書けることに気付いたんです。

例えば球面は

x²+y²+z²=1で表せる。なぜってこの数式を満たすx,y,zはたくさんあるんですが座標に書き込んでいくと球面になる。

そして図形は数式で表せる、という発見が、絵に描くこともできないほどのむちゃくちゃ複雑怪奇な図形の本質に迫っていくきっかけになったんです。

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17世紀、さまざまな図形が数式で表せるという事実に気付いた数学者たち。

やがてこの逆の関係も成り立つだろうと考えた。どんなに適当に書いた数式でも何らかの図形を表しているに違いないと考えるようになった。

例えば

x³-30xy+y³=0

これを座標を使って描いてみると、デカルトの正葉線になる。

座標を使えば数式の数だけ新たな図形を作り出すことができるようになった。

ただし、数式が表す図形は必ずしも簡単に描けない。例えばエネパー曲面というのがある。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%83%8D%E3%83%91%E3%83%BC%E6%9B%B2%E9%9D%A2

チュムトフ曲面も。

更に例えばこの数式

x²+y²+z²+w²=1

が表しいるのは4次元の中にある図形。頭の中で思い浮かべることもできない。10種類の文字がでてくると10次元の図形ということになる。

19世紀にはいると数学者たちは、頭に思い浮かべることもできない複雑怪奇な図形の性質を調べたいと思い出した。現代数学への大きな一歩だった。

一体どうすればいいのか？せめてその図形たちを似たもの同士に分類できないか、と考えだした。

その時数学者たちが頼ったのが図形の魂ともいえるオイラー数だった。

ところが、図形の分類のため、めちゃくちゃ苦労してオイラー数を求めたもののそれが役に立たないということがわかってきた。

同じオイラー数なのに、どう変形しても同じ形にならないものがたくさん存在する。

つまり、複雑怪奇な図形を相手にする限り、オイラー数では十分ではないことがわかった。

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なんだよー！せっかくオイラーがオイラー数を発見したのに、デカルトが座標を発見してことでオイラー数が格下げみたいな感じじゃないの！

それにしても数学者はめちゃくちゃ複雑怪奇な図形をなんとか分類しようとする超面倒くさい問題をわざわざ作って解こうとするんだからまったく困ったもんだよなあ。

はい、皆さん、ここからがホッジ予想への重要なステップ。僕が番組の最初の方で、

ホッジ予想は、

「非特異な射影的代数多様体のタイプ(p,p)のコホモロジーに対しそれをクラスとする代数的サイクルが存在するはずだ」

というものでしたが、コホモロジーというのがオイラー数の代わりに図形の本当の魂、本質なんじゃないかとして歴史に登場してくるんです。

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コホモロジーはどのように発見された？最初の手がかりをつかんだのはポアンカレ予想で有名なアンリ・ポアンカレでした。

ポアンカレが考えたのは図形の上に描くことができる、”消えない”点、”消えない”輪、”消えない”面の数でした。

ここではわかりやすくするため単純なドーナツ型で見てみましょう。

消えない点とは？図形の上にたくさん点を描いたとします。移動すると一致してしまう点は同じと見なし、次々と消していく。残るのは1個。

消えない和は？いろんな輪っかを図形の上に描き、さっきのように消していくと、無限に小さくすると消えてしまうものも消して、２個は残る。

絡みついた輪っかは？消えない輪の組み合わせで出来ている。いわば和。

消えない面は1個。

1895年、ポアンカレはこれらが図形の新たな魂と言えそうだと気付きます。

それらをベッチ数と名付けた。オイラー数とベッチ数には関係がありました。

言ってみればオイラー数を複数の数を使ってより細かくしたものがベッチ数でした。

ではこのベッチ数を使えばオイラー数では歯が立たなかった分類ができるのか？オイラー数が同じでもベッチ数が違うものがありました。

しかし、同じベッチ数をもつのにどう変形しても同じ形にならないものがまだまだあります。

ベッチ数を超える、図形にとってのより根源的な不変量を発見し、世界を驚かせた人物がいました。

ドイツの女性数学者、エミー・ネーターです。

20世紀初頭、ドイツでは女性が講義を行い、授業料を受け取ることはまだ認められていませんでした。

ネーターは博士号取得後も7年間も給料なしで講義をしていました。1925年、ネーターが気付いたのはポアンカレの考え方に出てきた輪っか同士の足し算の背後にある数学的に深い意味、こう考えました。

消えない輪の個数として登場したベッチ数。しかしその輪は単なる輪っかではなく、足し算という数学的構造を持っている。

ネーターはベッチ数の背後に「群」という概念が隠れていることを見抜きました。

これこそが「コホモロジー(群)」の発見でした。

コホモロジー研究の第一人者で数論幾何の世界的権威である、ピエール・ドリーニュ博士。

ネーターの発見はついに図形の魂、本質をとらえたものとして衝撃を与えたと語る。

「ネーターが気付いたことはとてもシンプルでした。しかしそれは図形を理解するための強力な武器となったのです。

コホモロジーを調べると、単なる数であるベッチ数よりも図形の構造がよく分かるのです。図形のとらえ方は根本的に変わりました。」

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尾形さん登場。ついにコホモロジーに到達したんです。でもですよ、実は意外な事が起きたんです。

図形の本質、魂は1つだけのはずなのにコホモロジーにはいくつもの種類が見つかっちゃうという事態になっちゃったんです。

同じ図形にたくさんの魂がある？うわー、どういうこと？「ホッジ予想」、なかなかでてこねえな！

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ネーターがコホモロジーを発見して以降、なぜか次々と新たなコホモロジーが発見されてきた。

1931年スイスの数学者　ジョルジュ・ド・ラームがド・ラームコホモロジーを発見、1953年にはアンリ・カルタンが層コホモロジーを発見します。

図形の本質がコホモロジーだったはずなのにたくさん見つかるのはどういうことでしょう。

さらに意外な発見がありました。1960年以降、なんと図形以外の分野にもコホモロジーがたくさん存在するという事実がわかってしまったのです。

そのコホモロジーを用いると次々と未解決問題が解けることまで判明したのです。

コホモロジーがたくさん発見され、難問解決に役立つ背景とは、いったい何があるのか？

1968年、一人の数学者が実は、様々なコホモロジーは数学の”真髄”とも呼べる存在とつながっているのではないかという壮大な仮説を唱えました。

アレクサンダー・グロタンディーク、20世紀の数学を牽引した稀代の天才です。こう考えました。

数多く発見されているコホモロジーには実はその大本と言える存在があって、それぞれはその大本の側面を見ているだけではないか？

壮大な交響曲にもモチーフがあり、音程やテンポを変えて手を変え品を変え登場することでその音楽を特徴付け支配しているように、

数学の世界にも数学を特徴付け、支配するいわば真髄が存在していて様々なコホモロジーとして表れているんではないか？

グロタンディークは音楽に習い、それを「モチーフ」と名付けました。

その存在を証明することが究極の使命だと考えた。

「さまざまのコホモロジー（理論）は、同一の基礎のモチーフが異なるテンポやキー、調べを持つことで存在するということになるでしょう。

これが音楽的隠喩という専門的でない言語で表現された大胆なアイデアの意味なのです。」

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図形の角度や長さが不変量だということから始まった今回、数学の本質とは何か？というとんでもないスケールの話になってきました。

でも肝心なことがまだですよね。ホッジ予想とは何か？

もちろん超難しい未解決問題ですから、まともにやったら何がなんだか、ということになります。

そこでさっきのモチーフとの関連でこんなふうに説明します。

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モチーフと呼ばれる数学の神髄は、本当に存在するのか？その証明のためにグロタンディークが考えた作戦があります。

モチーフの様々な側面として表れるコホモロジー。グロタンディークはそれぞれのコホモロジーにはその大本であるモチーフの性質を受け継ぐ、重要部分（代数的サイクル）があるに違いない、と考えたのです。もしすべてのコホモロジーの重要部分を見つけることができれば、それを入り口にしてモチーフの存在が確かめられるはずだというのです。

しかしここにはそもそもの問題がありました。モチーフの入り口の重要部分をどう見つけるか？そもそも存在するか？という問題。

実はもし、ホッジ予想が正しいことが証明できれば、一部のコホモロジーの重要部分が存在し、モチーフの証明の手がかりになるというのです。

グロタンディークと数々の共同研究を行ったドリーニュ博士、モチーフを探すことは数学そのものの謎に迫ることだと言います。

「モチーフは「理論」というよりも数学についての「哲学」と言ってもいいかもしれません。数学では異なる視点から見ているのになぜか同じものがみつかったり、同じ答えにたどり着くことがよくあります。モチーフはその理由を教えてくれるのです。ホッジ予想は私にとってモチーフへの「頼みの綱」です。　ただ今は証明どころか、正しいのか間違っているのかの手がかりさえ見つかりません。いろいろ試しましたが、今の私にはどうやら打つ手がありません。」「いらだたしくはありませんか？」「いいや、うまくいかないなら別の作戦を立てるまでですよ。モチーフが見つかって数学についてのもっと深いものを見せてくれることが楽しみです。」

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尾形さん登場。みなさん、今日も数学という学問についてのイメージががらりと変わったんじゃないですか？物事の本質、真髄とはなにかをひたすら追い求める、夢とロマンあふれる人類究極の探求の物語なんです。

僕もそんな究極の世界に浸ってみたいという思いました。ところで僕にも僕の人生の夢、モチーフがあると言ったら驚くでしょうか？

僕の最初の芸名はサンキュー尾形でした。結婚は39歳3月9日、娘はさくらと名付け、愛犬はミク。

サウナのロッカー番号は39、スクワットの回数は39回。

そう、僕にとっての人生のモチーフはサンキューの真髄を追い求めることなんです。数学者の皆さん、モチーフの真髄を発見されるより前に僕はサンキューの真髄を発見してみせますからね！

ということで皆さんご一緒に、サンキュー！

だれも一緒にやってくれない。。。はいOKです。OKじゃないよ！