熱力学の関数の関係を覚えるBorn Square （まあ熱力学のはじき（きはじ)?) もちろんMax Bornはこんなの使わずに導出できただろうが、、、

Maxwellの関係式とかエントロピーの微分形とかすぐ忘れる。

たまたまBorn Squareというのを知った。Max Bornが講義で使ったとか。あまりに生徒が覚えないので仕方なく絵にした、、、と勝手に想像したり。ご本人はもちろん自分で一瞬で導出できたと思いますが。

こういうのです。（下の2つはオリジナルよりわかりやすくなってるけど）

https://en.wikipedia.org/wiki/Thermodynamic_square

http://www.lptms.u-psud.fr/membres/trizac/Ens/M1GP/ThermodynamicSquareMnemonic.pdf

まずは微分形から。

例えばUをとる。Uの反対側の2頂点を見るとTとPだ。→の先端の方がプラス、尾の方がマイナスと思って対角線の反対側の微分形と掛ける。

するとdUはTdSと-pdVの和、dU=TdS-pdVになる。

Maxwellの関係式は？

Tからスタートして反時計回りにV,Sがあり、矢印の向きは両方とも先端。そこから1個進んだ

pからスタートして時計回りにはS,Vがあり、矢印の向きは両方とも尾。

矢印の向きが回り方で違う時は負の符号がつく、、、とすると順番に

(∂T/∂V)_S=-(∂p/∂S)_V

となる。なるほど。

高周波（RF・マイクロ波・ミリ波・5G）関連ニュース2021年4月19日 IEEE Microwave Magazineの記事で細胞の特徴づけにマイクロ波、Microwave Journalの特集は機械学習を使ったアンプ設計、QorvoがBAW技術を新型コロナウイルスの抗原検査に、など。

IEEE Microwave MagazineはIMS2021特集だが、記事としてテラヘルツ通信とGaNのMIMOアンテナアレイに加えて細胞の記事が出ていて面白い。

https://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=6668

Microwave Jornalの特集はアンプと発信器だが、機械学習を使ったアンプ設計の話が。ただこれは機械学習なのか最適化なのかという、、、まあ言葉がはやっているからと。後はモデリシックスのLNAモデリングやUWBバンドパスフィルタなど。

https://www.microwavejournal.com/publications/1

QorvoがBAW技術を新型コロナウイルスの抗原検査に使う。これはいいな。

Qorvo® Biotechnologies Receives FDA Emergency Use Authorization (EUA) for Rapid COVID-19 Antigen Testing

RESONANTの発表。

RESONANT CUSTOMERS SHIP RECORD 8.6 MILLION RF FILTERS LEVERAGING ISN® DESIGN TECHNOLOGY IN FIRST QUARTER OF 2021; REPRESENTING YEAR OVER YEAR GROWTH OF 437%

同じくAkoustisの発表。

Akoustis Announces Two New WiFi 6E XBAW Coexistence Filters with Enhanced 5 GHz Spectrum Use and Receives First Order from Tier-1 OEM

2つのSパラメータのカスケード接続による合成をWolframAlphaに手伝ってもらって計算した。

ちょっと新人教育用の資料で必要になって手計算しようと思ったら、、、全く自信がない。のでWolframAlphaに手伝ってもらおう。

一つ目のSパラメータ（Sa）は入射波をa1, a2、反射波をb1, b2とすると(行列をテキストで書く、、、）

|b1|=|Sa11   Sa12| |a1|

|b2|  |Sa21   Sa22| |a2|

二つ目のSパラメータ（Sb）は入射波をa3, a4、反射波をb3, b4とすると

|b3|=|Sb11   Sb12| |a3|

|b4|  |Sb21   Sb22| |a4|

カスケード接続すると、a2=b3, b2=a3なので、、、とここからWolframAlphaの登場。

記号を認識してくれないので記号を簡略化する。a1=x1, Sa11=p1, Sb11=q1,… b4=y4

とかおく。

y1=p1 x1+p2 x2, y2=p3 x1+p4 x2,x2=q1 y2+q2 x4, y4=q3 y2+q4 x4

となるが、このままは計算してくれない。なのでまず後ろの２式からx2,y2を計算する。

solve x2=q1 y2+q2 x4, y4=q3 y2+q4 x4 for x2, y2

といれると、

x2 = (-q1 q4 x4 + q1 y4 + q2 q3 x4)/q3 , y2 = (y4 - q4 x4)/q3 , q3!=0 , q1!=0

と計算してくれる。これを最初の２式に（これは手というかコピペで）入れて、さらにWolframAlphaに

solve y1=p1*x1+p2*(-q1*q4*x4 + q1*y4 + q2*q3*x4)/q3, (y4 - q4*x4)/q3=p3*x1+p4*(-q1*q4*x4 + q1*y4 + q2*q3*x4)/q3

としてみると？

p4 q1!=1 , y1 = p1 x1 + (p2 (p3 q1 x1 + q2 x4))/(1 - p4 q1) , p2!=0 , y4 = (p3 q3 x1 + x4 (-p4 q1 q4 + p4 q2 q3 + q4))/(1 - p4 q1) , q3!=0

と答えが得られた。a1=x1, Sa11=p1, Sb11=q1,… b4=y4をメモ帳の置換で戻すと

b1 = Sa11 a1 + (Sa12 (Sa21 Sb11 a1 + Sb12 a4))/(1 - Sa22 Sb11)
b4 = (Sa21 Sb21 a1 + a4 (-Sa22 Sb11 Sb22 + Sa22 Sb12 Sb21 + Sb22))/(1 - Sa22 Sb11)

と得られる。

ここまでくれば後は手でまとめて、綺麗に書き直すと

とできた！もうちょっと頑張ればWolframAlphaで１行でできるかもしれない。

では次は（続く）。

iPhoneで使える数学ソフトMaple Calculatorで手書き入力でMathematicaの常微分方程式の例を試す（その１）

MapleというとMaxima、Mathematica、reduceなどと同じくらい有名な数式処理ソフトウェアだと思いますが、いつの間にかスマホで（一部機能を）無償で使えるようになっていた。

https://jp.maplesoft.com/products/maplecalculator/index.aspx?L=J

どの程度使える？というのを見るために、まずは常微分方程式を解かせてみよう。

例題はWolfram言語（Mathematica）のやつを使う。

https://reference.wolfram.com/language/tutorial/DSolveOrdinaryDifferentialEquations.html.ja?source=footer

大量にあるので、まずは順番に上から4つ。

全部手書きで書いて、カメラで撮って解かせた。認識度も高い。

結果はこちら：

おお、ちゃんと解いてくれてるじゃないの！

ぼちぼち続きをやっていこう。

高周波（RF・マイクロ波・ミリ波・5G）関連ニュース2021年3月16日 IEEE Microwave magazineの特集は中国のマイクロ波技術、Microwave Journalの特集はCATRでミリ波ビームスキャンを測定、SIJの特集はなんと450ドルのネットアナ、フリーの高周波シミュレータ（Qucsなど）。

IEEE　Microwave Magazine4月号の特集は中国。

進行波管（TWS)、GaNデバイス、サスペンディッド線路が紹介されてる。

https://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=6668

24GHzの車載レーダをSISLで作るとかなかなかすごいことしてますな。

Microwave JournalはTest & Measurement。

https://www.microwavejournal.com/publications/1/editions/282

CATRでビームスキャン測定とかめっちゃ高そう、、、でもミリ波だとこういうものを使うしかないのか。

うって変わってSignal Integrity Journalはアマチュアでも買える低コストな測定器、シミュレータの特集。

https://www.signalintegrityjournal.com/articles/2056-sij-publishes-2021-issue

なんと450ドルのネットアナが紹介されてる。1.3GHzまでだけど。

また私もたまに使うQucs（私はQucsStdioだけど）などの高周波シミュレータの紹介もある。

参考：

高周波回路シミュレータQucsStudioを使ってみる（その１）まずは何をさておきμの文字化けだけには注意。

高周波回路シミュレータQucsStudioを使ってみる（その２）SパラメータのTouchStoneフォーマットで出力するには？

高周波回路シミュレータQucsStudioを使ってみる（その３）Mixed Mode S parameterを計算

Pythonの高周波系のライブラリ scikit-rfを使ってみる（その4）　評価ボード（EVB)に実装された素子の素の特性をDe-embedで求める。Qucsstudioで元データを作った。

フィッツヒュー・南雲 (FitzHugh-Nagumo) 方程式をPython+Scipyでルンゲクッタ8次のDOP853(Dormand Prince)で計算。

今回は神経を通る電気信号をモデル化したフィッツヒュー・南雲方程式

dv/dt = v - v³/3 -w +I

dw/dt = ε(v + a - b*w)

をPython+Scipyでルンゲクッタ8次のDOP853(Dormand Prince)で計算してみた。

結果はこんな感じ。スパイクが見える。

パラメータはここと同じにしました。

https://www.comsol.com/blogs/understand-the-dynamics-of-the-fitzhugh-nagumo-model-with-an-app/

ソースコードはこちら：

import numpy as np
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt

a=0.7
b=0.8
eps=0.08
I=1

def FNmodel(t, u): #odeintのときとt,xの並びが逆
    v=u[0]
    w=u[1] 

    v_dot = (v*(1.0-(v**2)/3)-w+I)
    w_dot = eps*(v+a-b*w)

    return [v_dot, w_dot]

t0=0
tmax = 200
N=5000

u0=[0.0,0.0]

solver=ode(FNmodel)
solver.set_integrator('dop853')
solver.set_initial_value(u0,t0) #なぜか関数と並びが逆

t=np.linspace(0, tmax, N)
sol= np.empty((N, 2))
sol[0] = u0

k=1
while solver.successful() and solver.t < tmax:
    solver.integrate(t[k])
    sol[k] = solver.y
    k+= 1

# Plot
fig = plt.figure(figsize=(10,24))

ax1=fig.add_subplot(3, 1, 1)
ax2=fig.add_subplot(3, 1, 2)
ax3=fig.add_subplot(3, 1, 3)

ax1.set_xlabel("Time")
ax1.set_ylabel("v")
ax1.grid(True)
ax2.set_xlabel("Time")
ax2.set_ylabel("w")
ax2.grid(True)
ax3.set_xlabel("v")
ax3.set_ylabel("w")
ax3.grid(True)

ax1.plot(t,sol[:,0],c='Red')
ax2.plot(t,sol[:,1],c='Blue')
ax3.plot(sol[:,0],sol[:,1],c='Green')

plt.show()

カオスを生じる電気回路、Chua’s circuitをLTspiceで回路シミュレーションしてみる。

Chua's circuit

というのを初めて知った。Chuaさんが早稲田大学を訪れていたときに考案した回路だそうだ。

回路的には簡単にできそうなのでLTspiceで回路シミュレーションしてみた。

この辺を参考に：

Chua's Circuit

8. SIMULATING CHUA’S CIRCUIT WITH LTSPICE

では回路はこんな感じ。OPアンプはOP29にしておいた。

そして実行結果は！

おお、本当だ。回路シミュレータでこんな波形を見るのは珍しくて面白い。

高周波（RF・マイクロ波・ミリ波・5G）関連ニュース2021年2月16日 IEEE Microwave Magazineの特集はオールデジタルのRFID、Microwave JournalはＥバンド ミリ波通信に衛星や気球を使う話、アメリカの半導体企業がバイデンに投資を迫る、

Microwave magazineの特集は、オールデジタルのRFID、、、ってもアンテナやアンプ、フィルタはアナログだから、、、ってRFフロントエンドは別扱いか。

https://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=6668

Microwave Journalの特集は70/80GHzといったミリ波で空から通信する話。

E-Band mmWave Technology for HAPS and LEO Satellite Systems

Holographic Radar Development

も。

CMOSで100Gbpsのオプティカルモジュレータ。

Standard CMOS Yields Integrated Photonic 100-Gb/s Optical Modulator

主要なアメリカの半導体メーカがバイデンに投資を迫る、、、

CEOs Urge President Biden to Fund Chips, Executive Order Expected

「 The CEO signatories on the letter are from AMD, Analog Devices, Cree, GlobalFoundries, Intel, Lattice Semiconductor, Marvell Semiconductor, Maxim, Micron Technology, ON Semiconductor, Qorvo, Qualcomm, Silicon Labs, Skyworks, Texas Instruments, Western Digital, Xilinx and the SIA. In addition, senior executives from Broadcom, IBM and Nvidia also added their signatures. 」だって。

TSMCのLiuさんがISSCCの基調講演で語る。TSMCはほんとうにすごいな。

ISSCC Plenary: A Bright Foundry Future

Labyrinth Chaos(迷宮カオス）を生むThomas-Rössler方程式のパラメータbを色々変えて、Python＋Scipyでルンゲクッタ8次のDOP853(Dormand＆Prince)を使って計算してGIFアニメ

先日、こういうのを書いた。

Labyrinth Chaos(迷宮カオス）というのがあるのか！Thomas-Rössler方程式から出る。Python＋Scipyでルンゲクッタ8次のDOP853(Dormand＆Prince)を使って計算

こういう方程式（Thomas' cyclically symmetric attractor　or Thomas-Rössler system）

で、bを変えると非常に面白いパターンがでる。ということで今回はGIFアニメにしてみた。

初期値も3種類変えて同時に表示してます。

こちら：

b＝０も面白いけど、途中で星型みたいになるものまた面白い。

参考リンク：

Hyperchaos & Labyrinth chaos: Revisiting Thomas-Rössler systems

Labyrinth chaos: Revisiting the elegant, chaotic and hyperchaotic walks

Thomas' cyclically symmetric attractor

「水晶振動子の等価回路計算」をカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpの自作式としてUP！ インピーダンスの大きさと位相がグラフ化できる。

ちょっと頼まれて作ったものがあって、それを転用します。

水晶振動子はこんな風に等価回路化できる。

回路定数は

直列容量C1
直列インダクタンスL1
直列抵抗R1
並列容量C0
負荷容量Cs

を入れるようになっている。

リンクはこちら：

 水晶振動子の等価回路計算

入力画面：

インピーダンスの大きさ|Z|のLog表示：

位相：

水晶はものすごくQが高いのでLでかくとH単位（nHとかμHじゃなくて）になるのが面白いね。